如何证明锐角三角形的三条高相交于同一点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 16:40:07
如何证明锐角三角形的三条高相交于同一点
如何证明锐角三角形的三条高相交于同一点
如何证明锐角三角形的三条高相交于同一点
已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此三角形三条高交于一点 设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c. 因为AD⊥BC,BE⊥AC, 所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0, 即向量a·(向量c-向量b)=0, 向量b·(向量a-向量c)=0, 亦即 向量a·向量c-向量a·向量b=0 向量b·向量a-向量b·向量c=0 两式相加得 向量c·(向量a-向量b)=0 即向量HC·向量BA=0 故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H. 用高中的知识要简单得多,比如解析法、向量法 下面用初中的知识,不过必须用四点共圆, 如图,设高BE、CF交于H ,连结AH并延长交BC于D,连结DE、EF、FD 只要证明AD⊥BC即可. 因为∠HFA＋∠HEA＝180°,所以A、F、H、E四点共圆 ,所以∠EAH＝∠EFH 同理：B、C、E、F四点共圆,所以∠EFC＝∠EBC , 由上得：∠EAD＝∠EBD ,所以A、B、D、E四点共圆 所以∠ADB＝∠AEB＝Rt∠ 所以AD⊥BC 问题：求证三角形的三条高交于一点（垂心）. 说明一下,这里用的方法,都是初中水平的,相信大家都能看懂. 证明的方法很多,这里提供两种方法,都附有图像： 1. 相似三角形法（见下） 2. 外心法 下面的是第一种方法：相似三角形法 已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点O1,交高CF于点O2. 求证：O1、O2、O三点重合 证明： 如图, ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠AEB = ∠AFC = 90° 又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽△ACF ∴AB/AC = AE/AF, 即AB*AF = AC*AE 同理, 又∵AD⊥BC ∴△AEO1 ∽△ADC,△AFO2 ∽△ADB ∴AE/AD = AO1/AC,AF/AD = AO2/AB 即AC*AE = AD*AO1,AB*AF = AD*AO2 ∵AB*AF = AC*AE,AC*AE = AD*AO1,AB*AF = AD*AO2 ∴AD*AO1 = AD*AO2 ∴AO1 = AO2 ∵点O1、O2都在线段AD上 ∴点O1、O2重合 ∴AD与BE、AD与CF交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE与CF也交于此点 ∴点O1、O2、O重合 命题得证.