怎么证明三角形的三高相交与同一点怎么证明三角形的三高相交同一点

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 19:17:44
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已知：△ABC中,AD、BE、CF分别是高
求证：AD、BE、CF相交于一点
证明：过A、B、C分别作对边的平行线,两两相交于M、N、K
易知四边形ABCN、KBCA、ABMC都是平行四边形,
∴BC=AN、BC=KA,则KA=AN,即AD是KN的垂直平分线,
同理可得BE、CF分别是MK、MN的垂直平分线,
∵△MNK中,三边的垂直平分线AD、BE、CF相交于一点,
∴ABC中AD、BE、CF相交于一点,证毕.
又证：设BE、CF相交于O,作AO交BC于D
∵OE⊥AE、OF⊥AF,
∴A、E、O、F四点共圆,同理,B、C、E、F四点共圆,
∴∠FAO=∠FEO,∠FEO=∠OCD,
∴∠FAO=∠OCD,
∵∠FAO+∠FOA=Rt∠、∠FOA=∠DOC,
∴∠OCD+∠DOC=Rt∠,
∴AD⊥BC,即AD、BE、CF相交于一点,证毕.

做任意两条高，连接其交点与另外那个顶点，证明其与对边垂直。

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