确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy-7﹚²=x²+y²
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 03:02:27
确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy-7﹚²=x²+y²
确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy-7﹚²=x²+y²
确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy-7﹚²=x²+y²
不妨设x ≥ y.
首先对y = 0, 代入得x = 7.
对y = 1, x无整数解.
对y = 2, x无整数解.
对y = 3, 解得x = 4 (x = 5/4不是整数, 舍去).
若x ≥ y ≥ 4, 我们证明等式不能成立.
由(x-y)² ≥ 0有不等式x²+y² ≥ 2xy.
于是x²+y² = (xy-7)² = x²y²-14xy+49 ≥ x²y²-7x²-7y²+49, 即x²y²-8x²-8y²+49 ≤ 0.
整理得(x²-8)(y²-8) ≤ 15, 但由x ≥ y ≥ 4, 有x²-8 ≥ y²-8 ≥ 8得(x²-8)(y²-8) ≥ 64, 矛盾.
于是方程只有(0,7), (7,0), (3,4), (4,3)四组非负整数解.
方程可变为(xy)^2-14xy+49=x^2+y^2,两边同时加2xy得(xy)^2-12xy+49=(x+y)^2,即13+(xy-6)^2=(x+y)^2,(x+y)^2-(xy-6)^2=13,即(x+y+xy-6)(x+y-xy+6)=13①,由于13为素数,所以①式可分解为A、B、C、D四组方程:A{x+y-xy+6=1和x+y+xy-6=13;B{x+y-xy+6=13和x+y+xy...
全部展开
方程可变为(xy)^2-14xy+49=x^2+y^2,两边同时加2xy得(xy)^2-12xy+49=(x+y)^2,即13+(xy-6)^2=(x+y)^2,(x+y)^2-(xy-6)^2=13,即(x+y+xy-6)(x+y-xy+6)=13①,由于13为素数,所以①式可分解为A、B、C、D四组方程:A{x+y-xy+6=1和x+y+xy-6=13;B{x+y-xy+6=13和x+y+xy-6=1;C{x+y-xy+6=-1和x+y+xy-6=-13;D{x+y-xy+6=-13和x+y+xy-6=-1;对于A组,将两个方程相加并化简得x+y=7②,②式的非负整数解(x,y)共8组(0,7)、(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)、(7,0),将这些解代入A组方程检验,只有(3,4)、(4,3)满足要求;采用同样的方法求得B组方程的非负整数解为(0,7)、(7,0);采用同样的方法可证明C组方程和D组方程无非负整数解。综上所述,原方程共有4组非负整数解(x=0,y=7)、(x=3,y=4)、(x=4,y=3)、(x=7,y=0)。
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