确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy－7﹚²＝x²＋y²
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 02:57:01
确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy－7﹚²＝x²＋y²
确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy－7﹚²＝x²＋y²
确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy－7﹚²＝x²＋y²
不妨设x ≥ y.
首先对y = 0, 代入得x = 7.
对y = 1, x无整数解.
对y = 2, x无整数解.
对y = 3, 解得x = 4 (x = 5/4不是整数, 舍去).
若x ≥ y ≥ 4, 我们证明等式不能成立.
由(x-y)² ≥ 0有不等式x²+y² ≥ 2xy.
于是x²+y² = (xy-7)² = x²y²-14xy+49 ≥ x²y²-7x²-7y²+49, 即x²y²-8x²-8y²+49 ≤ 0.
整理得(x²-8)(y²-8) ≤ 15, 但由x ≥ y ≥ 4, 有x²-8 ≥ y²-8 ≥ 8得(x²-8)(y²-8) ≥ 64, 矛盾.
于是方程只有(0,7), (7,0), (3,4), (4,3)四组非负整数解.
方程可变为(xy)^2-14xy＋49=x^2＋y^2，两边同时加2xy得(xy)^2-12xy＋49=(x＋y)^2，即13＋(xy-6)^2=(x＋y)^2，(x＋y)^2-(xy-6)^2=13，即(x＋y＋xy-6)(x＋y-xy＋6)=13①，由于13为素数，所以①式可分解为A、B、C、D四组方程：A｛x＋y-xy＋6=1和x＋y＋xy-6=13；B｛x＋y-xy＋6=13和x＋y＋xy...
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方程可变为(xy)^2-14xy＋49=x^2＋y^2，两边同时加2xy得(xy)^2-12xy＋49=(x＋y)^2，即13＋(xy-6)^2=(x＋y)^2，(x＋y)^2-(xy-6)^2=13，即(x＋y＋xy-6)(x＋y-xy＋6)=13①，由于13为素数，所以①式可分解为A、B、C、D四组方程：A｛x＋y-xy＋6=1和x＋y＋xy-6=13；B｛x＋y-xy＋6=13和x＋y＋xy-6=1；C｛x＋y-xy＋6=-1和x＋y＋xy-6=-13；D｛x＋y-xy＋6=-13和x＋y＋xy-6=-1；对于A组，将两个方程相加并化简得x＋y=7②，②式的非负整数解(x，y)共8组(0，7)、(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)、(7，0)，将这些解代入A组方程检验，只有(3，4)、(4，3)满足要求；采用同样的方法求得B组方程的非负整数解为(0，7)、(7，0)；采用同样的方法可证明C组方程和D组方程无非负整数解。综上所述，原方程共有4组非负整数解(x=0，y=7)、(x=3，y=4)、(x=4，y=3)、(x=7，y=0)。
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