如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连结AP交BC于点E,连结BP交AC于点F.求线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G）,记△ABC和△ABG的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 02:16:11
如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连结AP交BC于点E,连结BP交AC于点F.求线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G）,记△ABC和△ABG的
如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连结AP交BC于点E,
连结BP交AC于点F.
求线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G）,记△ABC和△ABG的面积分别为S△abc和S△abg,如果存在点P,能使S△abc＝S△abg,求角ACB的取值范围
如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连结AP交BC于点E,连结BP交AC于点F.求线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G）,记△ABC和△ABG的
由题意知角C可能为锐角,直角,钝角 a.当角C为直角时,由勾股定理知BG =（ 根号（BC*BC+CG*CG））,这BG一定大于BC,则G点一定在HC延长线上,这样SABC一定不等于SABG.所以角C不等于90度 b.当角C为钝角时,在AC延长线上作三角形ABC的高BM,M为垂足. 由勾股定理,此时有同样有BG一样大于BC,则G点一定在HC延长线上,这样SABC一定不等于SABG.所以角C不能为钝角. c.当角C为锐角时,在AC上作三角形ABC的高BM,M为垂足,此时BM一定小于BC.因此BG的可能长度在BC和BA与BC取最大的一个之间.即BC不大于BG,且BG小于BA和BC中最大的一个. 而SABC=SABG,即在AC边（不包括端点A和C）上,存在一点G,恰使得BG =BC. 即：C关于M对称的点G一定在AC边（不包括端点A）上.这样AC边（不包括端点A和C）上就存在点G,使得BG =BC=AC,且都小于AB. 在三角形ABC中,由BC=AC都小于AB,又由长边对应大角度.所以角A=角B且都小于角C. 设角C大小为X度,则角A=角B=（180-X）/2. 所以（180-x）/2小于X,解得X大于60 又角C为锐角,所以角C大于0度且小于90度.即：0小于X,且X小于90 所以60小于X,且X小于90. 即：角C大于60°小于90°综上所述,所以角C大于60°小于90°
设AE=AC,BF=BC,则S△ABG=S△ABC,
∠ACB=∠AEC>∠ABC,
同理∠ACB>∠BAC,
所以60°<∠ACB<90°.
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．
（2）证明：∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，
∴△ACE≌△BCF．
∴AE=BF．
（3）由（2）知△AB...
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（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．
（2）证明：∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，
∴△ACE≌△BCF．
∴AE=BF．
（3）由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，
∴S△ABC=S△ABG．
∴AE=AC．
①当∠C为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；
②当∠C为锐角时，∠A=90°-
1
2
∠C，而∠CAE＜∠A，要使AE=AC，只需使∠C=∠CEA，
此时，∠CAE=180°-2∠C，
只须180°-2∠C＜90°-1/2∠C，解得60°＜∠C＜90°．
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