两题不定积分∫x(secx^2)tanx dx∫x^(1/2)lnx dx
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 17:54:06
两题不定积分∫x(secx^2)tanx dx∫x^(1/2)lnx dx
两题不定积分
∫x(secx^2)tanx dx
∫x^(1/2)lnx dx
两题不定积分∫x(secx^2)tanx dx∫x^(1/2)lnx dx
∫x(secx^2)tanx dx
=∫xtanxdtanx
=x(tanx)^2-∫tanxdxtanx
=x(tanx)^2-∫[(tanx)^2+xtanx(secx)^2]dx
=x(tanx)^2-∫[(secx)^2-1]dx-∫x(secx)^2tanxdx
=x(tanx)^2-tanx+x-∫x(secx)^2tanxdx
所以∫x(secx^2)tanx dx =(1/2)*{x(tanx)^2-tanx+x}+c
∫x^(1/2)lnx dx
=(2/3)*∫lnxdx^(3/2)
=(2/3)*[x^(3/2)*lnx-∫x^(3/2)*1/xdx]
=(2/3)*[x^(3/2)*lnx-∫x^(1/2)dx]
=(2/3)*[x^(3/2)*lnx-(2/3)*x^(3/2)]+c
=(2/3)*[x^(3/2)*lnx]-(4/9)*x^(3/2)+c
第一个可以先用换元法
let u = tan x
x = tan-1 u
du = sec ^2 x dx
积分号: tan-1 u * u du
再用分部积分
= tan-1 u * u^2/2 - 积分号 1/1+u^2 * u^2/2 du
相同 相同 相同
积分号: u^2/ 2(1+u^2) du...
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第一个可以先用换元法
let u = tan x
x = tan-1 u
du = sec ^2 x dx
积分号: tan-1 u * u du
再用分部积分
= tan-1 u * u^2/2 - 积分号 1/1+u^2 * u^2/2 du
相同 相同 相同
积分号: u^2/ 2(1+u^2) du = 积分号 u^2 +1 -1 / 2(1+u^2) du
= 积分号 1/2 -1/2(1+u^2)
所以积分部分积出来等于 u/2 - tan-1 (u) /2
加上前面的， = tan-1 (u) * u^2/2 - u/2 + tan-1 (u) /2
最后代回 u = tan x
= x * tan^2 x /2 - tan x/2 + x/2 + c
c是常数项
。。。百度不好解释。。。要是面对面就简单多了。。。
第二道：
直接用分部
= ln(x)* 2/3 (x^3/2) - 积分号: 1/x * 2/3 (x^3/2) dx*注： (x^3/2) 在分号上面！
= 2ln(x) (x^3/2) /3 - 积分号： 2(x^3/2)/ 3x dx
剩下很简单了， 2/3 积分号 x^1/2 , 也就是 4/9 (x^3/2)
所以答案： 2ln (x) (x^3/2) /3 - 4/9 (x^3/2) + C
C是常数项
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