排列组合中的着色问题．由两个同心圆构成的圆环被n等分,每一份以及中间的小圆用4种不同的颜色着色,要求相临两块颜色不同,求共有几钟着色方案?当n=1时,方案N=4*3=12; 当n=2时,方案N=4*3*2=24;
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:56:50
排列组合中的着色问题．由两个同心圆构成的圆环被n等分,每一份以及中间的小圆用4种不同的颜色着色,要求相临两块颜色不同,求共有几钟着色方案?当n=1时,方案N=4*3=12; 当n=2时,方案N=4*3*2=24;
排列组合中的着色问题．
由两个同心圆构成的圆环被n等分,每一份以及中间的小圆用4种不同的颜色着色,要求相临两块颜色不同,求共有几钟着色方案?
当n=1时,方案N=4*3=12;
当n=2时,方案N=4*3*2=24;
当n=3时,方案N=4*3*2*1=24;
当n>=4时,方案N=4*3*2(&n-3)*(1*2+1*1)=3(&2)*2(&n-1).
其中(&n)表示乘方.
我的想法是：
当n＝3时,即圆环分为1,2,3三个区域．
第一步：小圆,有4种选择；
第二步：区域1,有3种选择；
第三步：区域2,有2种选择；
第四步：区域3与1,2及小圆都相邻,所以只有1种选择．
所以应该只有4＊3＊2＊1＝24种方法．
排列组合中的着色问题．由两个同心圆构成的圆环被n等分,每一份以及中间的小圆用4种不同的颜色着色,要求相临两块颜色不同,求共有几钟着色方案?当n=1时,方案N=4*3=12; 当n=2时,方案N=4*3*2=24;
你的结果是错的.
当 n=1时,N=12
当 n=2时,N=24
当 n=3时,N=24
当 n=4时,N=72
当 n=5时,N=120
一般的情况下:因为中间小圆有4种涂法,剩余用3种颜色去涂圆环
这里先不考虑中心的一个圆：
用3种颜色染同一个圆分成的n个扇形,使相邻扇形不同色,有多少种不同的染色方法,其中n≥3．设n个扇形为S1,S2,…,Sn (n≥3)．并设用3种颜色染n个扇形符合要求的染法总数为an．对S1有3种染法,对S2则有2种染法,对S3也同样有2种染法,如此下去,对Sn也有2种染法．这时共有3*2^(n-1)种不同的染法．但是这时可能出现S1与Sn染同色,我们可以在这种情况下,拆掉隔离S1与Sn的半径,变成n-1个扇形,这样,染色就对n-1个扇形符合要求了．因此有递推式:
an＝3*2^(n-1)－a(n-1)
an－2^n＝－[a(n-1)－2^(n-1)]
从而数列{an－2^n}构成一个以－1为公比的等比数列．
依题意a3＝3*2*1=6
于是an－2^n＝[a3－2^3](－1)^(n－1)
整理得an＝2^n＋2*(－1)^n
故由两个同心圆构成的圆环被n等分,每一份以及中间的小圆用4种不同的颜色着色,要求相临两块颜色不同,求共有几钟着色方案有：
4*an=2^(n+2)+8*(-1)^n