高等代数关于欧氏空间恒等变换求解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 15:30:34
高等代数关于欧氏空间恒等变换求解高等代数关于欧氏空间恒等变换求解高等代数关于欧氏空间恒等变换求解先证明必要性.因为A有n个互异的特征值,所以A可以对角化.具体的说可以在V中找到一组基,使得A在这组基下
高等代数关于欧氏空间恒等变换求解
高等代数关于欧氏空间恒等变换求解
高等代数关于欧氏空间恒等变换求解
先证明必要性.
因为A有n个互异的特征值,所以A可以对角化.
具体的说可以在V中找到一组基,使得A在这组基下的矩阵为对角阵.
下面我们完全在这组基下讨论问题.
令A=diag{a1,a2,...,an},其中ai两两不同.对于矩阵B=(bij),计算AB-BA=((ai-aj)bij)
由于A,B可交换,即上式为0.而ai两两不同,所以当i与j不等时,有bij=0.
由此知道B也为对角阵.
显然所有对角阵构成一个n维线性空间,容易证明E,A,...,A^(n-1)构成这个线性空间的一组基（因为ai两两不同,所以范德蒙行列式非0）.所以B可以写成如上形式.
再证明充分性.
反之,若B可以写成如上形式,显然B与A可交换.
所以这是一个充要条件.
不懂可以再问~