甲乙丙三人比赛,规定每局两人比赛,胜者与第三人比赛,依此循环,直至有一人连胜两次,此人为冠军,而每次比赛双方圣的概率都是1/2.现假设甲乙先比赛,求各人获得冠军的概率
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 02:17:02
甲乙丙三人比赛,规定每局两人比赛,胜者与第三人比赛,依此循环,直至有一人连胜两次,此人为冠军,而每次比赛双方圣的概率都是1/2.现假设甲乙先比赛,求各人获得冠军的概率
甲乙丙三人比赛,规定每局两人比赛,胜者与第三人比赛,依此循环,直至有一人连胜两次,此人为冠军,而每次比赛双方圣的概率都是1/2.现假设甲乙先比赛,求各人获得冠军的概率
甲乙丙三人比赛,规定每局两人比赛,胜者与第三人比赛,依此循环,直至有一人连胜两次,此人为冠军,而每次比赛双方圣的概率都是1/2.现假设甲乙先比赛,求各人获得冠军的概率
首局分析法
A表示甲最终赢,B表示乙最终赢,C表示丙最终赢.
甲乙先比.
由全概公式可知:
P(A)=P(A|甲赢第一局)*P(甲赢第一局)+P(A|甲负第一局)*P(甲负第一局)
P(A|甲赢第一局)表示在先赢一局的情况下甲获胜的概率.如果他再赢一局就已经赢了.但是如果下一局输了,那么后一局丙必须输给乙(否则丙已经获胜),那么第四局甲必须赢乙(否则乙已经获胜)此时情况和甲先赢一局的状况相同.
因此我们有,P(A|甲赢第一局) = P(甲赢下一局)+ P(丙赢下一句)*P(乙赢下一局)*P(甲赢下一局)*P(A|甲赢第一局)
=1/2+1/2*1/2*1/2*P(A|甲赢第一局)
由此解得,P(A|甲赢第一局)=4/7
同理,如果甲输了第一局,那么下一局乙必须输给丙,后一局丙必须输给甲.此时的情况又和甲先赢一局时相同.
因此,P(A|甲负第一局)= 1/2*1/2*P(A|甲赢第一局) = 1/2*1/2*4/7 = 1/7
那么带回原公式可知
P(A) = 1/2*4/7 + 1/2*1/7 = 5/14
乙和甲地位平等,所以P(B)=P(A)=5/14
而丙为P(C)=1-P(A)-P(B)=4/14=2/7
综上,甲乙获胜概率为5/14,丙获胜概率为4/14
本题用到了条件概率的知识
甲:甲若获得冠军,第一场必赢,胜的概率1/2,在第一场胜的条件下,第二场有胜负两种可能,故
(1/2)*(1/2)+(1/2)*0=1/4
乙丙同理,因每次比赛双方圣的概率都是1/2.故概率一样,这样才体现公平性