2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 08:56:01
2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2
要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
题目错了 应该是垂心到外心
这题第一反应是计算 算出d和三角形的关系然后代入a2+b2+c2+d2检验,不过这样会发现d其实不大好看（因为确定d我是用重心垂心外心三点共线且分比1：2算的,垂心外心距离就直接拿对着某条边作垂线平行线然后勾股定理）
另一个想法就是向量了,
设ABC外心O垂心H,则OH=OA+OB+OC（这里指的都是向量 下同）（这一点可以直接计算(OH-OA)*(OB-OC)=0等验证,换言之你可以先做出这么一个H再说他是垂心） 那么AB²+AC²+BC²+OH²=(OA-OB)²+(OA-OC)²+(OB-OC)²+(OA+OB+OC)²=3（OA²+OB²+OC²）=9R²
你可能将题目抄错了，需要证明的结论应该是：a^2＋b^2＋c^2＋9d^2＝9R^2。
［证明］
以△ABC的外心为原点建立平面直角坐标系，显然，△ABC的外接圆方程是：x^2＋y^2＝R^2。
∴可令A、B、C的坐标依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）。
令AB中点为D、△ABC的重心为G（m，n）。
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你可能将题目抄错了，需要证明的结论应该是：a^2＋b^2＋c^2＋9d^2＝9R^2。
［证明］
以△ABC的外心为原点建立平面直角坐标系，显然，△ABC的外接圆方程是：x^2＋y^2＝R^2。
∴可令A、B、C的坐标依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）。
令AB中点为D、△ABC的重心为G（m，n）。
由中点坐标公式，得D的坐标为（R（cosα＋cosβ）/2，R（sinα＋sinβ）/2）。
明显有：CG/DG＝2，∴由定比分点坐标公式，有：
m＝［Rcosγ＋2R（cosα＋cosβ）/2］/（1＋2）＝R（cosα＋cosβ＋cosγ）/3，
n＝［Rsinγ＋2R（sinα＋sinβ）/2］/（1＋2）＝R（sinα＋sinβ＋sinγ）/3。
于是：
a^2＝（Rcosβ－Rcosγ）^2＋（Rsinβ－Rsinγ）^2＝R^2（2－2cosβcosγ－2sinβsinγ）
b^2＝（Rcosα－Rcosγ）^2＋（Rsinα－Rsinγ）^2＝R^2（2－2cosαcosγ－2sinαsinγ），
c^2＝（Rcosα－Rcosβ）^2＋（Rsinα－Rsinβ）^2＝R^2（2－2cosαcosβ－2sinαsinβ）。
9d^2
＝9［（m－0）^2＋（n－0）^2］
＝9｛［R（cosα＋cosβ＋cosγ）/3－0］^2＋［R（sinα＋sinβ＋sinγ）/3－0］^2｝
＝R^2［（cosα＋cosβ＋cosγ）^2＋（sinα＋sinβ＋sinγ）^2］
＝R^2（3＋2cosαcosβ＋2cosβcosγ＋2cosαcosγ＋2sinαsinβ＋2sinβsinγ＋2sinαsinγ）。
∴a^2＋b^2＋c^2＋9d^2＝9R^2。
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