水面上有一个长为L,密度为p,截面均匀的均质木棒,现用手持棒,使棒下端与睡水面接触,放手后,木棒竖直下沉,不计阻力,试求当p=2/3p水时,棒下沉到最后位置所需时间
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:14:28
水面上有一个长为L,密度为p,截面均匀的均质木棒,现用手持棒,使棒下端与睡水面接触,放手后,木棒竖直下沉,不计阻力,试求当p=2/3p水时,棒下沉到最后位置所需时间
水面上有一个长为L,密度为p,截面均匀的均质木棒,现用手持棒,使棒下端与睡水面接触,放手后,木棒竖直下沉,不计阻力,试求当p=2/3p水时,棒下沉到最后位置所需时间
水面上有一个长为L,密度为p,截面均匀的均质木棒,现用手持棒,使棒下端与睡水面接触,放手后,木棒竖直下沉,不计阻力,试求当p=2/3p水时,棒下沉到最后位置所需时间
分析：木棒释放后是做简谐运动（满足特征式：F回＝－K*X）,先证明此结果.
由题意知,木棒的重力是 G＝mg＝ρLSg,S是木棒的横截面积.
由于木棒的密度一般是小于水的密度,那么木棒不振动时（静止、漂浮状态）的位置就是其平衡位置,设此时浸入水中的部分长度是 X0,则有
ρLSg＝ρ水*g*S*X0 （此时重力等于浮力）
得 X0＝ρL / ρ水＝2L / 3 （题已知 ρ＝2 ρ水 / 3）
设想从平衡位置处再向下压木棒进入水中,使浸入水中的长度是（X0＋X）,则 X 就是相对平衡位置的“位移”,这个“位移”的方向是竖直向下,放手后木棒就在其平衡位置附近振动.
刚放手时,木棒受到重力 mg（竖直向下）,浮力 F （竖直向上,这时F＞mg）,那么回复力（合力）的方向就是竖直向上.
显然,回复力的方向与“位移”的方向相反,只要再证明它们的大小是成正比关系,则说明木棒是做简谐运动的.
回复力的大小是 F回＝F合＝F－mg＝ρ水*S*（X0＋X）g－ρLSg＝ρ水*S*g* X
可见,在 ρ水、S、g 为常量的情况下,回复力的大小与位移的大小是成正比的.
回复系数是 K＝ρ水*S*g ,从木棒下端与水面接触处释放,到它下降到最低位置所用的时间等于振动周期 T 的一半,所以所求的时间是
t＝T / 2＝π * 根号（m / K）＝π*根号[ ρLS / (ρ水*S*g) ]＝π*根号[ ρL / (ρ水*g) ]＝π*根号[ 2L / (3g) ]