在三角形ABC中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知面积S = a的平方 － (b －c)的平方,且b＋c = 8.求：（1）cosA 的值；（2）面积S 的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 07:26:23
在三角形ABC中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知面积S = a的平方 － (b －c)的平方,且b＋c = 8.求：（1）cosA 的值；（2）面积S 的最大值.
在三角形ABC中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知面积S = a的平方 － (b －c)的平方,且b＋c = 8.
求：（1）cosA 的值；
（2）面积S 的最大值.
在三角形ABC中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知面积S = a的平方 － (b －c)的平方,且b＋c = 8.求：（1）cosA 的值；（2）面积S 的最大值.
（1）
S ＝ a² － ( b － c)²
＝ a² － ( b² ＋ c² － 2bc)
＝ a² － b² － c² ＋ 2bc
而 S ＝ (1/2) × bc sinA
∴ a² － b² － c² ＋ 2bc ＝ (1/2) × bc sinA
∴ b² ＋ c² － a² ＝ 2bc － (1/2) × bc sinA
（很微妙,上式的左边是不是 与 cosA 有关?）
cosA ＝ (b² ＋ c² － a²) / 2bc
＝ 2bc － (1/2) × bc sinA / 2bc
＝ 1 － (1/4) × sinA
上式两边平方,得：
cos²A ＝ 1 ＋ (1/16) sin²A － (1/2)sinA
而 cos²A ＝ 1 － sin²A
∴ 1 ＋ (1/16) sin²A － (1/2)sinA ＝ 1 － sin²A
∴ (17/16) sin²A － (1/2)sinA ＝ 0
∴ sinA ＝ 0 （舍） 或 sinA ＝ 8/17
∴ 由cos²A ＝ 1 － sin²A 得：
cosA ＝ ± 15/17
而由 cosA ＝ 1 － (1/4) × sinA 知 cosA ＞ 0
∴ cosA ＝ 15/17
（2）
S ＝ (1/2) × bc sinA
＝ (1/2) × sinA × bc
＝ (4/17) × bc
欲求面积S 的最大值,只需求bc 的最大值.
由 (b ＋ c)² ≥ 4bc 知:
bc ≤ (b ＋ c)²/4 ＝ 8²/4 ＝ 16
∴ S ＝ (4/17) × bc ≤ (4/17) × 16 ＝ 64/17
即：面积S 的最大值为64/17.
祝您学习顺利!
（1）cosA 的值；
先画图
AC边上高H=c.cosC
S=1\2bc.cosC=a^2-（b-c)^2=a^2-b^2-c^2+2bc
由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bc.cosC
有1\2bc.cosC=b^2+c^2-2bc.cosC-b^2-c^2+2bc
5\2bc.cosC=2bc
cosC=4\5
（2）面积...
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（1）cosA 的值；
先画图
AC边上高H=c.cosC
S=1\2bc.cosC=a^2-（b-c)^2=a^2-b^2-c^2+2bc
由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bc.cosC
有1\2bc.cosC=b^2+c^2-2bc.cosC-b^2-c^2+2bc
5\2bc.cosC=2bc
cosC=4\5
（2）面积S 的最大值
S=1\2bc.cosC
S=2\5bc
b+c=8
有基本不等式b+c≥2√(bc)
故16≥ab
面积S 的最大值为S=2\5×16=32\5
收起