关于九点圆就是九点圆的一些性质,麻烦介绍下,别复制,我想要能看懂的,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 06:16:32
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关于九点圆
就是九点圆的一些性质,麻烦介绍下,别复制,我想要能看懂的,
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先介绍几个定义：
A、欧拉点：欧拉点就是连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点.
B、欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
C、垂心：三角形三条高的交点；
D、重心：三角形三条中线的交点；
E、外心：三角形三边垂直平分线的交点,也就是三角形外接圆的圆心；
F、内心：三角形内切圆的圆心,也是三个内角平分线的交点；
九点圆的部分性质：
1、三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径一半；
2、九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点；
3、三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切[可暴力计算证明] ；
4、九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切；
5、外心(M),重心(G),垂心(H),九点圆心(I)四点共线且HG=2MG MG=2IG MH=2MI
6、九点圆其实是某类四面体（对棱互相垂直）的12点共球的一个特例
7、一旦三角形的三个顶点在等轴双曲线（反比例函数）上,那么它的九点圆将还要过一个特殊点：等轴双曲线的中心.（证明如下）
为证明结论7,先证一个引理：一条直线交双曲线于A、B,交两条渐近线于C、D,那么AC＝BD.
设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,那么渐近线方程为x²/a²-y²/b²=0,设直线方程为y=kx+m,由于双曲线方程与渐近线方程的左边相同,区别只在右边的常数,所以可将它们写成统一形式：x²/a²-y²/b²=t,当t＝1时得到双曲线,当t＝0时得到渐近线.
将直线带入上述方程消去y并整理得：(b²-k²a²)x²-2kma²x-a²m²-ta²b²=0
只要k不为双曲线的渐近线斜率±b/a,那么方程就有两个不等的实根x1、x2,由韦达定理：x1+x2＝2kma²/(b²-k²a²),但它与t的取值无关,因此AD的中点与BC的中点重合,所以AC＝BD