一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2/2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 21:15:53
一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2/2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是

一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2/2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程
一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2/2,
已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程

一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2/2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程
你好:
由于椭圆是关于坐标轴对称的,所以它的中心在原点.
若椭圆的焦点在X轴上,可设方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB在椭圆上:
x1^2/a^2/y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,因式分解得到:
[(x1-x2)(x1+x2)]/a^2+[(y1-y2)(y1+y2)]/b^2=0
整理得到:[b^2(x1+x2)]/[a^2(y1+y2)]= -(y1-y2)/(x1-x2)
注意到:因为M为AB中点,XM=(x1+x2)/2 YM=(y1+y2)/2
因为AB在直线x+y-1=0上:那么,(y1-y2)/(x1-x2)=k=-1
所以整理得到的式子等价于:(b^2*XM)/(a^2*YM)= -(-1)=1
因为M与椭圆中心的连线的斜率是√2/2,所以YM/XM=√2/2
得到:a^2=√2*b^2
椭圆的方程可化为:x^2+ √2y^2=√2b^2
将直线的解析式代入方程中:
x^2+√2(1-x)^2=√2b^2
整理得到:(1+√2)x^2-2√2x+√2-√2b^2=0
根据韦达定理得到:x1+x2=2√2/(1+√2)=4-2√2
x1x2=(√2-√2b^2)/(1+√2)=(2-√2)(1-b^2)
由两点间的距离公式得到:|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
注意到:y1-y2=(1-x1)-(1-x2)=x2-x1
因此:|AB|=√[2(x1-x2)^2]=√[2(x1+x2)^2-8x1x2]=2√2
两边平方得到:2(x1+x2)^2-8x1x2=8
代入关系式:2(4-2√2)^2-8(2-√2)(1-b^2)=8
解得:b^2=(3/2)√2
因此:x^2/3+2*y^2/(3√2)=1
若椭圆的焦点在Y轴上:设y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b)
同理得到:(a^2XM)/(b^2YM)=1
解得:a^2=(√2/2)b^2所以矛盾,舍去此种情况.
因此椭圆方程为:x^2/3+2*y^2/(3√2)=1
回答完毕,谢谢!

一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2/2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程 已知直线l过抛物线y=x²/4的焦点F和F关于直线x+y=0的对称点F',椭圆的中心在坐标原点o焦点在坐标轴上,直线l与椭圆交于P,Q1求直线l方程2若op垂直于OQ PQ=根号10除以2 求椭圆方程 已知椭圆的方程为x^2/5+y^2=1,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆于A,B两点.1.设点M(m,0)是线段OF上的一个动点,且(向量MA+向量MB)垂直向量AB,求m的取值范围 2点C是点A关于x轴的对称点 椭圆方程为x平方除以9加y平方等于1,一条不与坐标轴平行的直线L与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN中...椭圆方程为x平方除以9加y平方等于1,一条不与坐标轴平行的直线L与椭圆交于不同的两 已知椭圆c:x²/a²+y²/b²(a>b>0)右焦点F的坐标为(1,0)两个焦点与短轴的一个动点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程 (2)已知过椭圆的右焦点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆c交于A,B两 设F1,F2,为椭圆X^2/9+Y^2/4=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求|PF1|/|PF2|的值.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线Y=X+1与椭圆交于P和 已知中心为原点,对称轴为坐标轴的椭圆焦点在x轴上,离心率e=√2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于PQ两点且OP⊥OQ,求椭圆方程 已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线Y=X+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,PQ=根号10/2,求椭圆的方程. 已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 y = x + 1 与椭圆交于 P 和 Q 两点,且 OP ⊥ OQ ,PQ = 10 ,求椭圆的方程. 解析几何圆锥曲线已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=(根10)/2,求椭圆方程. 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,/PQ/=根号10/2,求这个椭圆方程. 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于点P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=√10/2,求椭圆方程 已知椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线X+3Y-6与两坐标轴的交点,求此椭圆的标准方程 椭圆和直线对称椭圆C与椭圆(x-3)^2/9+(y-2) ^2/4=1关于直线x+y=0对称,则椭圆C的方程是 椭圆c与椭圆(x-3)平方/9+(y-2)平方/4=1关于直线x+y=0对称,椭圆c的方程是? 椭圆C与椭圆(x-2)^2/9+(y-3)^2/16=1关于直线x+y=0对称,则椭圆C的方程为? 已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点F的坐标是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知过椭圆右焦点且不垂直于坐标轴的直线与 椭圆中心在原点,一个顶点和焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐标轴的交点,求此椭圆的标准方程