函数f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续,求f'(0).这道题用泰勒展开式来求,我都检查了很多遍,算出来不对
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 04:13:07
函数f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续,求f'(0).这道题用泰勒展开式来求,我都检查了很多遍,算出来不对
函数f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续,求f'(0).这道题用泰勒展开式来求,我都检查了很多遍,算出来不对
函数f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续,求f'(0).这道题用泰勒展开式来求,我都检查了很多遍,算出来不对
f(x)=1/x-1/(e^x-1)=[(e^x-1)-x]/[x(e^x-1)]
f'(x)=[(e^x-1)*x(e^x-1)-(e^x-1-x)*(e^x+xe^x-1)]/[x(e^x-1)]^2
=[(xe^2x-2xe^x+x)-((1+x)e^2x-(x^2+2x+2)e^x+1+x)]/[x(e^x-1)]^2
=[-e^2x+(x^2+2)e^x-1)]/[x(e^x-1)]^2
f'(0)=lim{[-e^2x+(x^2+2)e^x-1)]/[x(e^x-1)]^2} x->0
=1/2lim{[-2e^2x+(x^2+2x+2)e^x]/[(x+x^2)e^2x-(2x+x^2)e^x+x)]} 洛必达法则
=1/2lim{[-4e^2x+(x^2+4x+4)e^x]/[(2x^2+4x+1)e^2x-(x^2+4x+2)e^x+1]} 洛必达法则
=1/2lim{[-8e^2x+(x^2+6x+8)e^x]/[(4x^2+12x+6)e^2x-(x^2+6x+6)e^x]} 洛必达法则
=1/2lim{[-8e^x+(x^2+6x+8)]/[(4x^2+12x+6)e^x-(x^2+6x+6)]} 约去e^x
=1/2lim{[-8e^x+(2x+6)]/[(4x^2+20x+18)e^x-(2x+6)]} 洛必达法则
=1/2*[-8+6]/[18-6] x->0
=-1/12
PS：这道题用洛必达法则就行了,也蛮简单的,为嘛要用级数展开?
f(x)虽然在x=0处无定义,但其极限及导数却是存在的
limf(0)的值也同样可以用洛必达法则求出,而且有limf(0)左=limf(0)右=1/2
f(x)即f'(x)图像如下,只不过把x=0的那一点抠掉就行了
此题有问题，请查看“连续”的定义：
设函数f在某U(Xo)内有定义，若lim[X->Xo]f(X)=f(Xo)，则称f(X)在点Xo连续。
条件中明确规定，必须是U(Xo)，也就是说Xo在定义域上
而你给出的函数定义域为x≠0，那么他不会在x=0处连续