如图,△ABC中,CD,BE为高,AN 为角平分线,OM平分∠BOC交BC于M.(1)若∠BAC=α,求∠BOM(2)求证 :OM//AN
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/21 16:23:07
如图,△ABC中,CD,BE为高,AN 为角平分线,OM平分∠BOC交BC于M.(1)若∠BAC=α,求∠BOM(2)求证 :OM//AN
如图,△ABC中,CD,BE为高,AN 为角平分线,OM平分∠BOC交BC于M.
(1)若∠BAC=α,求∠BOM
(2)求证 :OM//AN
如图,△ABC中,CD,BE为高,AN 为角平分线,OM平分∠BOC交BC于M.(1)若∠BAC=α,求∠BOM(2)求证 :OM//AN
∵BE⊥AC
∴∠ABE+∠BAC=90
∴∠ABE=90-∠BAC
∵CD⊥AB
∴∠ACD+∠BAC=90
∴∠ACD=90-∠BAC
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=∠ABC-90+∠BAC
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=∠ACB-90+∠BAC
∴∠CBE+∠BCD=∠ABC+∠ACB+2∠BAC-180
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180
∴∠CBE+∠BCD=∠BAC
∴∠BOC=180-(∠CBE+∠BCD)=180-∠BAC
∵OM平分∠BOC
∴∠BOM=∠BOC/2=90-∠BAC/2
∵∠BAC=α
∴∠BOM=90-α/2
2、证明:
∵AN平分∠BAC
∴∠BAN=∠BAC/2
∴∠ANB=180-(∠ABC+∠BAN)=180-(∠ABC+∠BAC/2)
∵∠BOM=90-∠BAC/2,∠CBE=∠ABC-90+∠BAC
∴∠OMB=180-(∠BOM+∠CBE)
=180-(90-∠BAC/2+∠ABC-90+∠BAC)
=180-(∠ABC+∠BAC/2)
∴∠ANB=∠OMB
∴OM//AN
(1)
易知∠ACO=∠ABO=90°-α
因此∠BOM=∠BAC+∠ACO+∠ABO=180°-α(延长AO很容易看出来)
(2)
证明OM//AN
只需要证明∠ANC=∠OMC
在△ANC中,∠ANC=180°-∠CAN-∠ACN=180°-α/2-∠CAN
在△OMC中,∠OMC=180°-∠COM-∠OCM=180°-(180°-α)...
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(1)
易知∠ACO=∠ABO=90°-α
因此∠BOM=∠BAC+∠ACO+∠ABO=180°-α(延长AO很容易看出来)
(2)
证明OM//AN
只需要证明∠ANC=∠OMC
在△ANC中,∠ANC=180°-∠CAN-∠ACN=180°-α/2-∠CAN
在△OMC中,∠OMC=180°-∠COM-∠OCM=180°-(180°-α)/2-∠OCM
因此只需要证明∠CAM=(90°-α)+∠OCM
得证
收起