高中有关三角形的所有性质(包括角、线段长度等）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 04:00:28
高中有关三角形的所有性质(包括角、线段长度等）
高中有关三角形的所有性质(包括角、线段长度等）
高中有关三角形的所有性质(包括角、线段长度等）
第一章：三角形初步
（一）定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形.平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形也叫三角形.三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形,也叫三边形.
（二）分类：
按角度分a.锐角三角形：三个角都小于90度.
b.直角三角形：简称Rt△,其中一个角必须等于90度.
c.钝角三角形：其中一个角必须大于90度.
注：锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形.
按边分 a不等边三角形；
b等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形）
（三）三角形中的重要线段
中线：顶点与对边中点的连线.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形.
中线定理 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍
推论：三角形三条中线长度的平方和等于三边长度平方和的3/4
高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段）,叫做三角形的高.
角平分线：平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线,它到两边距离相等（注：一个角的平分线是射线,平分线的所在直线是这个角的对称轴）
中位线：任意两边中点的连线
中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线,必平分第三边.
（四）性质：
1.三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
2.三角形内角和等于180°,外角和等于360°.
注：在欧几里得的几何体系中,三角形都是平面上的,所以三角形的内角和为180°；而在非欧几何中,三角形的内角和有可能大于180°也有可能小于180°,此时三角形从平面变为球面或伪球面
3.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
4.边角关系：在同一三角形中,大边对大角,大角对大边.
5.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角.在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度.（包括等边三角形）
6.三角形具有稳定性.
证：任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被第三条边连接.∵第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定,进而将三角形固定∴三角形有稳定性 .
任取n边形（n≥4）两条相邻边,则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形（n≥4）每个角都不固定,所以n边形（n≥4）没有稳定性.
①直角三角形
（一）勾股定理：在任一直角三角形中,两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.a2+b2=c2,a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边.
几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°,则AB^2+BC^2=AC^2;
勾股定理的逆定理：若一个三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形.如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2,则这个三角形一定是直角三角形.
几何语言：若△ABC满足AB^2+BC^2=AC^2,则∠ABC=90°
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.常见的勾股弦数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；10,24,26 互素的勾股数组成为基本勾股数组,如：3,4,5；5,12,13；8,15,17
三角形判定方法：若一个三角形的三边a,b,c（a