证明不的你等式成立,其中a不等于b
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 11:30:17
证明不的你等式成立,其中a不等于b
证明不的你等式成立,其中a不等于b
证明不的你等式成立,其中a不等于b
f(x)=ex
f(a)=ea f(b)=eb
g(x)=[(eb-ea)/(b-a)](x-a)+ ea(x∈﹙a,b﹚)
令M(x)=g(x)-f(x)=(eb - ea) [(x-a)/(b-a)]+ ea-ex(x∈﹙a,b﹚)
=[(x-a)eb+(a-b)ex+(b-x)ea] /(x-a)²(b-a)(分母大于0,不去管它)
M’=eb-ea+(a-b)ex
eb-ea+(a-b)ex=0 x=ln[(eb-ea)/(b-a)]
eb-ea+(a-b)ex>0 x<ln[(eb-ea)/(b-a)]
eb-ea+(a-b)ex<0 x>ln[(eb-ea)/(b-a)]
又因为M(a)=M(b)=0
可见M在(a,ln﹙eb - ea﹚/﹙b-a﹚]上递增,在[(ln﹙eb - ea﹚/﹙b-a﹚,b)上递减
∴M(x)> M(a)=M(b)=0(x∈﹙a,b﹚)
即g(x)>f(x)(x∈﹙a,b﹚)
∴∫abg(x)dx>∫abf(x)dx(x∈﹙a,b﹚)(∫abg(x)这块积分展开很麻烦,不好算,你可以借助图像和积分的几何定义直接得出积分结果,就是梯形的面积)
即(eb+ea)(b-a)/2>eb-ea
(eb-ea)/(b-a)<(eb+ea)/2
这个题实际上是让证明曲线ex围成的面积比直线围成的面积小,这个在图像上一眼就能看出来,相差就是绿色那一部分.证明的话就得做差求导之类的证明曲线ex的函数值小 相当麻烦
第二种方法 这个简单但是不常见,对ex求一阶二阶导数>0(ex)’=(ex)’’=ex>0,所以图像上凹,所以S曲线围成<S直线围成:S曲线围成=∫abexdx,S直线围成=梯形面积,后面的同上(eb+ea)(b-a)/2>eb-ea
(eb-ea)/(b-a)<(eb+ea)/2
假定a < b, 设某直线经过两点(a, e^a), (b, e^b) 则当 a < x < b, 直线上的点大于e^x上的点
直线与x轴围成的面积为(b - a)*(e^a + e^b)/2, 梯形面积公式
函数e^x与轴围成的面积为e^b - e^a
因为当 a < x < b, 直线上的点大于e^x上的点, 所以梯形面积较大,于是得证。
如果是大学学生,应该比...
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假定a < b, 设某直线经过两点(a, e^a), (b, e^b) 则当 a < x < b, 直线上的点大于e^x上的点
直线与x轴围成的面积为(b - a)*(e^a + e^b)/2, 梯形面积公式
函数e^x与轴围成的面积为e^b - e^a
因为当 a < x < b, 直线上的点大于e^x上的点, 所以梯形面积较大,于是得证。
如果是大学学生,应该比较容易。
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