已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f（x）+1/x）=1,则f（1）=
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 12:19:01
已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f（x）+1/x）=1,则f（1）=
已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f（x）+1/x）=1,则f（1）=
已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f（x）+1/x）=1,则f（1）=
只能求出f(1)的值,无法确定f(x),要想确定,需先给出f(x)的函数类型!
设f(1)=t,则f(1)f[f(1)+1/1]=1,即t*f(t+1)=1,
f(t+1)=1/t
又f(t+1)*f[f(t+1)+1/(t+1)]=1,即1/t*f[1/t+1/(t+1)]=1
即f[1/t+1/(t+1)]=t
又f(1)=t,知f(1)=f[1/t+1/(t+1)],由f(x)是定义在（0,+无穷）上的单调函数知
1/t+1/(t+1)=1
即t^2-t-1=0
解得:t=(1±根号5)/2 (经检验,当t=(1+根号5)/2时,f(x)单减,当t=(1-根号5)/2时,f(x)单增）
由f(x)×f(f（x）+1/x）=1
得f(x)=1/f(f（x）+1/x）
∵在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数
若f(x)为增函数，则随X增大f(x)增大，f(f（x）+1/x）减小
故f（x）+1/x≤0
若f(x)为减函数，则随X增大f(x)减小，f(f（x）+1/x）增大
故f（x）+1/x≥0
综上，f(1)≤-1
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由f(x)×f(f（x）+1/x）=1
得f(x)=1/f(f（x）+1/x）
∵在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数
若f(x)为增函数，则随X增大f(x)增大，f(f（x）+1/x）减小
故f（x）+1/x≤0
若f(x)为减函数，则随X增大f(x)减小，f(f（x）+1/x）增大
故f（x）+1/x≥0
综上，f(1)≤-1
f(1)≥-1
故f（1）=-1
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