已知x1.x2是二次方程x^2-(a+d)x+ad-bc=0的两个实根 证明：x1^3 x2^3是方程y^2-(a^3+d^3+3adc+3bcd)y+(ad-bc)^3=0的两个实根
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 19:24:14
已知x1.x2是二次方程x^2-(a+d)x+ad-bc=0的两个实根 证明：x1^3 x2^3是方程y^2-(a^3+d^3+3adc+3bcd)y+(ad-bc)^3=0的两个实根
已知x1.x2是二次方程x^2-(a+d)x+ad-bc=0的两个实根 证明：x1^3 x2^3是方程y^2-(a^3+d^3+3adc+3bcd)y+
(ad-bc)^3=0的两个实根
已知x1.x2是二次方程x^2-(a+d)x+ad-bc=0的两个实根 证明：x1^3 x2^3是方程y^2-(a^3+d^3+3adc+3bcd)y+(ad-bc)^3=0的两个实根
x1＋x2=a＋d,x1x2=ad－bc
则：x1³＋x2³=(x1＋x2)[(x1＋x2)²－3x1x2]=(a＋d)[(a＋d)²－3(ad－bc)]=(a＋d)[a²－ad＋d²＋3bc]=a³－a²d＋ad²＋3abc＋a²d－ad²＋d³＋3bcd=a³＋d³＋3abc＋3bcd
(x1³)(x2³)=(x1x2)³=(ad－bc)³
从而,x1³、x2³是方程y²－(a³＋d³＋3abc＋3bcd)＋(ad－bc)³=0的根
由根与系数的关系式，原问题可转化为已知x1+x2=a+d,xi*x2=ad-bc,求证xi^3+x2^3=a^3+d^3+3adc+3bcd,x1^3*x2^3=(ad-bc)^3,证明如下
xi^3+x2^3=（x1+x2）*（x1^2-x1*x2+x2^2）=（x1+x2）*[（x1+x2）^2-3x1*x2]
=(a+d)*[(a+d)^2-3(ad-bc)]=a^3+d^3+3adc+3bcd
x1^3*x2^3=(x1*x2)^3=(ad-bc)^3
因为x1. x2是二次方程x^2-(a+d)x+ad-bc=0的两个实根，所以有：
（1） x1+x2=a+d
（2） x1*x2=ad-bc
（1）式三次方得：(x1)^3+(x2)^3+3(x1)^2(X2)+3(x1)(X2)^2=(a+d)^3，即
(x1)^3+(x2)^3+3(x1)(X2)(x1+x2)=(a+d)^3，...
全部展开
因为x1. x2是二次方程x^2-(a+d)x+ad-bc=0的两个实根，所以有：
（1） x1+x2=a+d
（2） x1*x2=ad-bc
（1）式三次方得：(x1)^3+(x2)^3+3(x1)^2(X2)+3(x1)(X2)^2=(a+d)^3，即
(x1)^3+(x2)^3+3(x1)(X2)(x1+x2)=(a+d)^3，将（1）式和（2）式代入并化简得：
（3） (x1)^3+(x2)^3=a^3+d^3+3adc+3bcd；将（2）三次方得：
（4） (x1)^3(x2)^3=(ad-bc)^3。
由（3）和（4）式可知，(x1)^3和(x2)^3恰好是第二个方程的两个根。
收起