在直角坐标平面内y轴右侧的一动点P到点（1/2,0）的距离比它到y轴的距离大1/2.求动点P的轨迹C的方程设Q为曲线C上的一动点,点B,C在y轴上,若三角形QBC为圆（x-1）^2+y^2的外切三角形,求三角形QBC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 16:43:09
在直角坐标平面内y轴右侧的一动点P到点（1/2,0）的距离比它到y轴的距离大1/2.求动点P的轨迹C的方程设Q为曲线C上的一动点,点B,C在y轴上,若三角形QBC为圆（x-1）^2+y^2的外切三角形,求三角形QBC
在直角坐标平面内y轴右侧的一动点P到点（1/2,0）的距离比它到y轴的距离大1/2.
求动点P的轨迹C的方程
设Q为曲线C上的一动点,点B,C在y轴上,若三角形QBC为圆（x-1）^2+y^2的外切三角形,求三角形QBC面积的最小值
在直角坐标平面内y轴右侧的一动点P到点（1/2,0）的距离比它到y轴的距离大1/2.求动点P的轨迹C的方程设Q为曲线C上的一动点,点B,C在y轴上,若三角形QBC为圆（x-1）^2+y^2的外切三角形,求三角形QBC
(1)
y轴右侧的一动点P到点F（1/2,0）
的距离比它到y轴的距离大1/2.
那么|PF|与到直线x=-1/2的距离相等.
那么点P轨迹为以F为焦点,x=-1/2为准线的抛物线
方程为y^2=2x
(2)
设Q(m,n),则n^2=2m
过Q点做圆（x-1）^2+y^2=1的两条切线
L1,L2,斜率分别为k1,k2,需m>2,
切线的斜率统一为k,切线方程为
y-n=k(x-m)即kx-y-km+n=0
切线与圆心的距离等于半径
所以|k-km+n|/√(1+k²)=1
==>(1-m)²k²+2(1-m)nk+n²=1+k²
==>(m²-2m)k²-2(m-1)nk+n²-1=0
那么k1+k2=2(m-1)n/(m²-2m)
k1k2=(n²-1)/(m²-2m)
L1与y轴交于B(0,n-k1m)
L2与y轴交于C(0,n-k2m)
那么三角形QBC的面积
S=1/2|BC|m*m=1/2|k1-k2|m²
S²=1/4 |k1-k2|²m⁴
=1/4[(k1+k2)²-4k1k2]m⁴
=m⁴[(m-1)²n²/(m²-2m)²-(n²-1)/(m²-2m)]
=m²(m-1)²n²/(m-2)²-m²(n²-1)(m²-2m)/(m-2)²
=m²[(m-1)²2m-(2m-1)(m²-2m)]/(m-2)²
=m⁴/(m-2)²
∴S=m²/(m-2)
=[(m-2)+2]²/(m-2)
=(m-2)+4/(m-2)+4≥4+4=8
当且仅当m-2=4/(m-2),m=4时,取等号
∴三角形QBC面积的最小值为8