设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 14:28:27
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设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值
设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值

设0<θ<π 求函数y=sinθ/2(1+cosθ)最大值
y=sin(θ/2)(1+cosθ)
=2 sinθ/2*cos²(θ/2)
=2 sinθ/2[1-sin²(θ/2)]
方法1:求导
∵0<θ<π∴sinθ/2∈(0,1)
设 sinθ/2=x∈(0,1)
y=2x-2x³
y'=2-6x²=6(√3/3+x)(√3/3-x)
x∈(0,√3/3),y'>0,y递增
x∈(√3/3,1) ,y'0
∴y²=4 sin²θ/2*cos²(θ/2) *cos²(θ/2)
=2*[2sin²θ/2*cos²(θ/2) *cos²(θ/2)]
≤2 {[2sin²θ/2+cos²(θ/2) +cos²(θ/2)]/3}³
=2(2/3)³=16/27
y≤√(16/27)=4√3/9
别听楼上的,你的问题是没有毛病的.

先对1+cosx升幂
=sinx/2*cos^2(x/2)
=sinx/2(1-sin^2(x/2))
换元带定义域看出结果