已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1,1】,2ax+b的绝对值≤4,

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:33:13
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1,1】,2ax+b的绝对值≤4,已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1,1】,2ax+b的绝对值≤4,
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1,1】,2ax+b的绝对值≤4,

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1,1】,2ax+b的绝对值≤4,
由函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,有:
|f(1)| ≤1,|f(-1)|≤1 ,| f(0)|≤1,即
|a+b+c|≤1 |a-b+c|≤1 |c|≤1
1≥|a+b+c|≥|a+b|-|c| ,|a+b|≤1+|c|≤1+1=2,即 :|a+b|≤2
-2≤a+b≤2 .①
同理 |a-b|≤2,
-2≤a-b≤2 .②
(3/2)×①+(1/2)×②
-4≤2a+b≤4
(1/2)×①+(3/2)×②
-4≤2a-b≤4
-4≤-2a+b≤4
令g(x)=2ax+b,x∈[-1,1],则g(x)是一个单调函数,a>0时,是增函数,a0时,g(1) 为最大值2a+b,g(-1)为最小值-2a+b,即 -2a+b≤g(x)≤2a+b
-4≤-2a+b≤g(x)≤2a+b≤4
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