设正整数a,b,c,d满足a/b+c/d
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 12:11:24
设正整数a,b,c,d满足a/b+c/d
设正整数a,b,c,d满足a/b+c/d
设正整数a,b,c,d满足a/b+c/d
答案 A=13,B=14,C=7,D=99
最大值 1385/1386
算法
设B=A+N C=20-A 有:A/(A+N)+(20-A)/E =1 E=(A+N)(20-A)/N
A,B,C都是整数,E不一定.当N=1的时候,E是整数.所以当D=E+1时,
A/B+C/D最接近1.值是 A/(A+1)+(20-A)/[1+(A+1)(20-A)]
=[(20-A)(A+1)^2+A]/[(20-A)(A+1)^2+A+1]
就是1-(A/B+C/D)=1/[(20-A)(A+1)^2+A+1]
让(20-A)(A+1)^2+A+1尽量的大.把A从1到19依次代入.
当A=13的时候,7*14*14+14=1386是最大值 13/14+7/99=1385/1386
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当N=2的时候,E=(A+2)(20-A)/2 若A是偶数,那D=E+1.A是奇数,则D=E+0.5
显然 D=E+0.5的情况下,分数值减少的更少,更接近1.所以A是偶数可以不考虑
D=[1+(A+2)(20-A)]/2 A/B+C/D=A/(A+2)+2(20-A)/[1+(A+2)(20-A)]
={A[1+(A+2)(20-A)]+2(A+2)(20-A)}/{(A+2)[1+(A+2)(20-A)]}
=[(A+2)^2(20-A)+A]/[(A+2)^2(20-A)+A+2]
就是1-(A/B+C/D)=2/[(A+2)^2(20-A)+A+2]
当A=13的时候,最小值 2/1590=1/795 13/15+7/53=794/795
这个和1的差比1385/1386要大,所以排除
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再讨论N=3.E=(A+3)(20-A)/3 A=1,4,7,10,13,16,19的时候,E的余数是1/3.
其他的都是整数.所以余1/3时 D=E+2/3=[2+(A+3)(20-A)]/3
A/B+C/D=A/(A+3)+3(20-A)/[2+(A+3)(20-A)]
={A[2+(A+3)(20-A)]+3(A+3)(20-A)}/{(A+3)[2+(A+3)(20-A)]}
=[(A+3)^2(20-A)+2A]/[(A+3)^2(20-A)+2A+6]
就是1-(A/B+C/D)=6/[(A+3)^2(20-A)+2A+6]
当A=13的时候,最小值 6/1824=1/304 13/16+7/38=303/304
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按照相同公式推算:当N更大的时候,如果E余数是M/N D=E+(N-M)/N
1-(A/B+C/D)=(N-M)N/[(A+N)^2(20-A)+(N-M)(A+N)]
而(A+N)^2(20-A)的最大值只有1000多,分子N越大,约去分子后分母越小,更不可能超过1385/1386了.
所以当A=13,B=13+1的时候有最大值 1385/1386