请看图中第3题,共两问.1,求详尽解法.,请告我q,或加我:1173016494~2,此图足够大了,如看不清,请右键另存为,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 09:35:50
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请看图中第3题,共两问.
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设椭圆C :x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程
一般解法：
(1)解析：∵椭圆C :x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）,∴其右焦点F(c,0)
设AB为x=my+c==>x^2=m^2y^2+2mcy+c^2
代入椭圆(b^2m^2+a^2)y^2+2b^2mcy+b^2c^2-a^2b^2=0
由韦达定理y1+y2=-2b^2mc/(b^2m^2+a^2),y1y2=( b^2c^2-a^2b^2)/(b^2m^2+a^2)
∵直线l的倾斜角为60度,∴m=√3/3
y1+y2=-2√3b^2c/[3(b^2/3+a^2)] ,y1y2=( -b^4)/(b^2/3+a^2)
∵向量AF=2FB,即(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),即y1=-2y2
∴y2=2√3b^2c/[3(b^2/3+a^2)]
y2^2=(b^4)/[2(b^2/3+a^2)]
∴4b^4c^2/[3(b^2/3+a^2)^2]=(b^4)/[2(b^2/3+a^2)]
8c^2/(b^2+3a^2)=1
8c^2=b^2+3a^2==>9c^2=4a^2==>e=2/3
(2)解析：|AB|=√(1+m^2)*|y1-y2|=15/4
2√3/3*|y1-y2|=15/4==>|y1-y2|=15√3/8
由(1)知y1=-2y2==>y2=5√3/8
∵e=2/3,∴c=2/3a,b=√5/3a
y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)==>y2=5√3/24a
∴a=3,b=√5
∴x^2/9+y^2/5=1
极坐标法：
(1)解析：椭圆极坐标方程：ρ=ep/(1-ecosθ) (0＜e＜1,p为焦点到准线的距离)
∵|AF|=2|BF|
∴ep/(1-ecos60°)=2ep/(1-ecos240°)
∴e=2/3
(2)ep/(1-ecos60°)+ep/(1-ecos240°)=15/4
e=c/a=2/3
p=b^2/c=(a^2-c^2)/c=5/2
a^2=9,c^2=4,b^2=5
方程即为x^2/9+y^2/5=1