一题数学题,求解法.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 06:51:25
一题数学题,求解法.
一题数学题,求解法.
一题数学题,求解法.
这还真是一个有趣的题目呢,至于题目的答案呢,肯定是 -1 ,不过这个题目还可以发掘出很多其他的东西,我都写给你吧～
首先,因为不知如何写下标的原因,所以做如下约定：S[n]中[n]表示下标,好了,现在开始有趣的解题：
设含有n个元素的集合M={x[1],x[2],...x[n]},其mi之和S记为S[n],设含有n+1个元素的集合M={x[1],x[2],...x[n+1]},其mi之和S记为S[n+1],下面来寻求S[n]和S[n+1]的关系：
对于含有n+1个元素的集合M={x[1],x[2],...x[n+1]},其真子集可以分为两类：
一类不含元素x[n+1]：此类的所有真子集等价于只含有n个元素的集合M={x[1],x[2],...x[n]}的真子
集,从而对此类的所有mi求和等于S[n]
一类含有元素x[n+1]：此类真子集等价于只含有n个元素的集合M={x[1],x[2],...x[n]}的子集(注意为
子集,也就是说还包括空集!),并在每一个子集中加入元素x[n+1],也就
是说在只含有n个元素的集合M={x[1],x[2],...x[n]}的所有子集里再加入元素
x[n+1]就构成了这一类的所有真子集,此时,对这一类的所有真子集的mi
求和就会等于=x[n+1]+x[n+1]*S[n]=x[n+1]*(S[n]+1)
好了,上面就是此题最为关键的地方,如果你无法理解的话那你就需要认真思考了,对集合的子集概念以及子集的求解是集合非常精髓的地方,上面给出的就是一种用来解决集合子集难题的最重要的方法之一：分类.对第二类的求和结果x[n+1]*(S[n]+1),请你自己好好分析为什么是这样,如果头绪不够清晰,请对当n=2和n=3的情形进行类比分析.
综上所述,则有S[n+1]为两类情况下的和,即：
S[n+1]=S[n]+x[n+1]*(S[n]+1)
这时,如果你想快速解题,就要看你的观察力了～
当x[n+1]=-1时,你会发现S[n+1]=S[n]+(-1)*(S[n]+1)=-1
也就是说一旦在集合M中出现元素-1,不管其他元素是什么,那么最终的和都会是-1!因为此时的S[n+1]=-1,代入到S[n+任意正数]的递推公式中,你会发现不管还有多少其他元素存在,以后的和的通项公式S[n+任意正数]都等于-1
至此,原题得解,如果你一开始就发现了-1的特殊性,你不需要得到上面的递推公式,只需对题目给出的n=2和3的两种情况下的S的公式进行令某一元素x=-1的运算就会得到结果为-1的结论～
还有,如果你对因式分解比较熟练的话,你也可以很快得到-1的结果,因为：
S[2]+1= (x[2]+1)*(x[1]+1)
S[3]+1= (x[3]+1)*x[2]+1)*(x[1]+1)
下面给你提供更一般的S的求解公式：
S[n+1]=S[n]+x[n+1]*(S[n]+1)
变形有：
S[n+1]+1=S[n]+1+x[n+1]*(S[n]+1)=(x[n+1]+1)*(S[n]+1)
所以：
S[n]+1=(x[n]+1)*(S[n-1]+1)
.
S[2]+1=(x[2]+1)*(S[1]+1)=(x[2]+1)*(x[1]+1)（因为S[1]=x[1]）
从上而下反复迭代可得：
S[n]+1= (x[n]+1)*(x[n-1]+1)*(x[n-2]+1)*...*(x[2]+1)*(x[1]+1)
上式即为S的通项公式,从其中可以看出一旦有元素为-1,则S[n]+1=0,所以S[n]=-1