设a、b、c≥0.且a+b+c=3,试求a^2+b^2+c^2+3/2abc的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 03:14:45
设a、b、c≥0.且a+b+c=3,试求a^2+b^2+c^2+3/2abc的最小值设a、b、c≥0.且a+b+c=3,试求a^2+b^2+c^2+3/2abc的最小值设a、b、c≥0.且a+b+c=

设a、b、c≥0.且a+b+c=3,试求a^2+b^2+c^2+3/2abc的最小值
设a、b、c≥0.且a+b+c=3,试求a^2+b^2+c^2+3/2abc的最小值

设a、b、c≥0.且a+b+c=3,试求a^2+b^2+c^2+3/2abc的最小值
你是不是想求a^2+b^2+c^2+3/(2abc)的最小值?若是这样,则方法如下:
要确保a^2+b^2+c^2+3/(2abc)有意义,则:需要a、b、c均不为0,∴a、b、c均是正数.
∴a^2+b^2≧2ab,b^2+c^2≧2bc,a^2+c^2≧2ac.
∴(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)≧2ab+2bc+2ac,
∴2(a^2+b^2+c^2)≧2(ab+bc+ac),
∴a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ac.
显然,当a=b=c=1时,等号成立,此时a^2+b^2+c^2取得最小值为3.
另外,a^2+b^2+c^2≧3(abc)^(1/3),∴3(abc)^(1/3)≦3,∴abc≦1.
显然,当a=b=c=1时,取等号,此时abc取得最大值,得:3/(2abc)能取得最小值为3/2.
∴当a=b=c=1时,
(a^2+b^2+c^2)与[3/(2abc)]都能取得最小值,
∴a^2+b^2+c^2+3/(2abc)的最小值=3+3/2=9/2.
注:若原题不是我所猜测的那样,则请你补充说明.