设f（x）有连续二阶导数,且f（x）/x在x=0处的极限是0,f''（0）【f（x）在0处的二阶导数值】=4,转下面求（1+f（x）/x）^(1/x)在x=0处的极限?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 23:15:33
设f（x）有连续二阶导数,且f（x）/x在x=0处的极限是0,f''（0）【f（x）在0处的二阶导数值】=4,转下面求（1+f（x）/x）^(1/x)在x=0处的极限?
设f（x）有连续二阶导数,且f（x）/x在x=0处的极限是0,f''（0）【f（x）在0处的二阶导数值】=4,转下面
求（1+f（x）/x）^(1/x)在x=0处的极限?
设f（x）有连续二阶导数,且f（x）/x在x=0处的极限是0,f''（0）【f（x）在0处的二阶导数值】=4,转下面求（1+f（x）/x）^(1/x)在x=0处的极限?
先取自然对数得
lim(x→0) ln（1+f（x）/x）^(1/x)
=lim(x→0) ln（1+f（x）/x）/x (等价无穷小代换)
=lim(x→0) f（x）/x^2
=lim(x→0) f'（x）/(2x)
=lim(x→0) f''（x）/2
=2
故
lim(x→0) （1+f（x）/x）^(1/x)
=lim(x→0) e^ln（1+f（x）/x）^(1/x)
=e^2
简单的方法，很容易可以看出f(x)=2x^2满足题意。然后代入就是(1+2x)^(1/x)={(1+2x)^[1/(2x)]}^2=e^2
正式的做法：
原极限=e^ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]
ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]=ln[1+f(x)/x]/x
在x趋向0时，是0/0.运用罗比达法则
ln[1+f(x)/x]/x=1/[1+...
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简单的方法，很容易可以看出f(x)=2x^2满足题意。然后代入就是(1+2x)^(1/x)={(1+2x)^[1/(2x)]}^2=e^2
正式的做法：
原极限=e^ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]
ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]=ln[1+f(x)/x]/x
在x趋向0时，是0/0.运用罗比达法则
ln[1+f(x)/x]/x=1/[1+f(x)/x]*[f(x)/x]'/1=[f(x)/x]'【注：1/[1+f(x)/x]=1/(1+0)=1】
=[xf'(x)-f(x)]/x^2【还是0/0，在x趋向0时，f(x)/x=0,f(x)是比x高阶的无穷小。分子就是0-0，分母0。再次运用罗比达法则】
=[xf''(x)+f'(x)-f'(x)]/(2x)=xf''(x)/(2x)=f''(x)/2=2
故e^ln[（1+f（x）/x）^(1/x)]=e^2
收起
用泰勒公式展开也可以