有关数列的数学题.已知数列{bn}满足b1=1,b2=3,b(n+2)=3b(n+1)-2bn.求证数列{b(n+1)-bn}是等比数列,求{bn}的通项公式.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 05:11:11
有关数列的数学题.已知数列{bn}满足b1=1,b2=3,b(n+2)=3b(n+1)-2bn.求证数列{b(n+1)-bn}是等比数列,求{bn}的通项公式.
有关数列的数学题.
已知数列{bn}满足b1=1,b2=3,b(n+2)=3b(n+1)-2bn.求证数列{b(n+1)-bn}是等比数列,求{bn}的通项公式.
有关数列的数学题.已知数列{bn}满足b1=1,b2=3,b(n+2)=3b(n+1)-2bn.求证数列{b(n+1)-bn}是等比数列,求{bn}的通项公式.
b(n+2)=3b(n+1)-2bn
b(n+2)-b(n+1)=2b(n+1)-2bn
b(n+2)-b(n+1)=2[b(n+1)-bn]
所以{b(n+1)-bn}是以4为首项2为公比的等比数列
b(n+1)-bn=4*2^(n-1)=2^(n+1)
bn-b(n-1)=2^n
b(n-1)-b(b-2)=2^(n-1)
.
b2-b1=2^2
用累加法
得到bn-b1=2^2+2^3+2^4+.+2^n
=2^2[1-2^(n-1)]/(1-2)=2^(n+1)-4
bn=2^(n+1)-4+1
所以bn=2^(n+1)-3
法一:设cn=b(n+1)-bn,则b(n+2)=3b(n+1)-2bn,所以
b(n+2)-b(n+1)=2[b(n+1)-bn],即c(n+1)=2c(n)
所以{c(n)}是以c1=b2-b1=2为首项,公比为2的等比数列
c(n)=2^n
所以b(n)=b1+∑2^k(k=1,2,……，n-1)=1+2^n-2=2^n-1
法二：b(n+2)=3b(...
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法一:设cn=b(n+1)-bn,则b(n+2)=3b(n+1)-2bn,所以
b(n+2)-b(n+1)=2[b(n+1)-bn],即c(n+1)=2c(n)
所以{c(n)}是以c1=b2-b1=2为首项,公比为2的等比数列
c(n)=2^n
所以b(n)=b1+∑2^k(k=1,2,……，n-1)=1+2^n-2=2^n-1
法二：b(n+2)=3b(n+1)-2bn对应特征方程为x^2=3x-2,
其两根为x1=1，x2=2
可设bn=s+t*2^n(s，t为待定常数）
把b1=1,b2=3代入解得s=-1,t=1
所以bn=2^n-1
法三:生成函数法
利用生成函数f(x)=a0x0+a1x+a2x2+……+anxn+……
则(1-3x+2x^2)f(x)=x
解得
f(x)=1/(1-2x)+1/(1-x)
=∑2^nx^n-x^n=∑(2^n-1)x^n
比较系数an=2^n-1
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