竞赛数列试题书

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竞赛数列试题
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高一数学同步测试（13）—数列单元测试题
　　一、选择题
　　1．若Sn是数列{an}的前n项和,且 则 是 （ ）
　　A．等比数列,但不是等差数列 B．等差数列,但不是等比数列
　　C．等差数列,而且也是等比数列 D．既非等比数列又非等差数列
　　2．某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成 （ ）
　　A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个
　　3．等差数列{a n}中,已知 （ ）
　　A．48 B．49 C．50 D．51
　　4．已知{an}是等比数列,且an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6=25,那么a3＋a5的值等于 （ ）
　　A．5 B．10 C．15 D．20
　　5．等比数列｛an｝的首项a1＝1,公比q≠1,如果a1,a2,a3依次是某等差数列的第1,2,5项,则q等于 （ ）
　　A．2 B．3 C．－3 D．3或－3
　　6．等比数列｛an｝的前3项的和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为 （ ）
　　A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－1
　　7．已知方程 的四个根组成的一个首项为 的等差数列,则 （ ）
　　A．1 B． C． D．
　　8．数列{an}中,已知S1 =1, S2=2 ,且Sn＋1－3Sn ＋2Sn－1 =0(n∈N*),则此数列为（ ）
　　A．等差数列 B．等比数列
　　C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列
　　9．等比数列前 项和为54,前 项和为60,则前 项和为 （ ）
　　A．66 B．64 C． D．
　　10．设等差数列{an}的公差为d,若它的前n项和Sn=－n2,则 （ ）
　　A．an=2n－1,d=－2 B．an=2n－1,d=2
　　C．an=－2n＋1,d=－2 D．an=－2n＋1,d=2
　　11．数列{an}的通项公式是a n = (n∈N*),若前n项的和为10,则项数为（ ）
　　A．11 B．99 C．120 D．121
　　12．某人于2000年7月1日去银行存款a元,存的是一年定期储蓄,计划2001年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄,此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r不变,则到2005年7月1日他将所有的存款和本息全部取出时,取出的钱共为 （ ）
　　A．a(1＋r)4元 B．a(1＋r)5元
　　C．a(1＋r)6元 D． 〔(1＋r)6－(1＋r)〕元
　　二、填空题：
　　13．设｛an｝是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若｛Sn｝是等差数列,
　　则q= ．
　　14．设数列 满足 , 当 时, ．
　　15．数列 的前n项的和Sn =3n2＋ n＋1,则此数列的通项公式a n=__ ．
　　16．在等差数列 中,当 时, 必定是常数数列．然而在等比数列 中,对某些正整数 、 ,当 时,非常数数列 的一个例子是 ___ ___．
　　三、解答题：
　　17．已知：等差数列{ }中, =14,前10项和 ．
　　（1）求 ；
　　（2）将{ }中的第2项,第4项,…,第 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前 项和 ．
　　18．求下面各数列的和：
　　（1） ；
　　（2）
　　19．数列｛an｝满足a1=1,an= an－1＋1(n≥2)
　　（1）若bn=an－2,求证｛bn｝为等比数列；
　　（2）求｛an｝的通项公式．
　　20．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元,
　　（1）问第几年开始获利?
　　（2）若干年后,有两种处理方案：
　　（3）年平均获利最大时,以26万元出售该渔船；
　　（4）总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船．
　　问哪种方案合算．
　　21．已知数列 是等差数列,且
　　（1）求数列 的通项公式；
　　（2）令 求数列 前n项和的公式．
　　22．某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案,当年要求买房户首付3万元,然后从第二年起连续十年,每年付款8000元；另一种方案是一次性付款,优惠价为9万元,若一买房户有现金9万元可以用于购房,又考虑到另有一项投资年收益率为5%,他该采用哪种方案购房更合算?请说明理由．(参考数据1.059≈1.551,1.0510≈1.628)
　　参考答案
　　一、选择题：BBCAB CCDDC CD
　　二、填空题：13.1．14. ．
　　15. ．16、 , 与 同为奇数或偶数．
　　三、解答题：
　　17．解析：(1)由 ∴
　　由
　　(1)设新数列为{ },由已知,
　　18.解析：(1)
　　(本题用到的方法称为“裂项法”,把通项公式化为an=f(n＋1)－f(n)的形式)
　　(2)通项 呈“等差×等比”的形式,
　　19.解析： (1)由an= an－1＋1得an－2= (an－1－2)
　　即 ,(n≥2)
　　∴｛bn｝为以－1为首项,公比为 的等比数列
　　(2)bn=(－1)( )n－1,即an－2=－( )n－1
　　∴an=2－( )n－1
　　20.解析：（1）由题设知每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列,设纯收入与年数的关系为 ,
　　∴ ,
　　获利即为 ＞0, ∴ ,
　　解之得： ,
　　又n∈N, ∴n=3,4,…,17, ∴当n=3时即第3年开始获利；
　　（1）(i)年平均收入=
　　∵ ≥ ,当且仅当n=7时取“=”,
　　∴ ≤40－2×14=12(万元)即年平均收益,总收益为12×7＋26=110万元,此时n=7．
　　(ii) ,∴当
　　总收益为102＋8=110万元,此时n=10,比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种．
　　21．解析：设数列 公差为 ,则 又
　　所以 (Ⅱ)令 则由 得
　　① ②
　　当 时,①式减去②式,得
　　所以
　　当 时, ,综上可得当 时,
　　当 时,
　　22．解析：如果分期付款,到第十一年付清后看其是否有结余,设首次付款后第n年的结余数为an,
　　∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8
　　a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05)
　　……
　　a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)
　　=6×1.0510－0.8×
　　=6×1.0510－16×(1.0510－1)
　　=16－10×1.0510
　　≈16－16.28=－0.28(万元)
　　所以一次性付款合算．