合肥一中试卷

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合肥一中试卷
2010年综合素质测试试卷数学
一、选择题（本大题共有5个小题,每小题8分,共40分）
1．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒,切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点,现将纸盒剪开展成平面,则展开图不可能的是（ ）

2．若点P（x,y）横坐标x与纵坐标y均为整数,则点P称为整点.在以（10,0）、（0,10）、（-10,0）、（0,-10）为顶点的正方形内（包括边）一共有整点的个数为（ ）
（A）220 （B）221 （C）222 （D）223
3．将二次函数 的图象先向右平移一个单位,再沿x轴翻折到第一象限,然后向右平移一个单位,再沿y轴翻折到第二象限……以此类推,如果把向右平移一个单位再沿一条坐标轴翻折一次记作1次变换,那么二次函数 的图象经过2010次变换后,得到的图象的函数关系式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4．如图,B是线段AC的中点,过点C的直线 与AC成50°的角,在直线 上取一点P,使得∠APB=30°,则满足条件的点P的个数是（ ）
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）无数个
5．如图,记二次函数 的图象与x轴的正半轴交点为A,将线段OA分成 等分.设分点分别为P1,P2,…,Pn-1,过每个分点作x轴的垂线,分别与该图象交于点Q1,Q2,…,Qn-1,再记直角三角形OP1Q1,P1P2Q2,…的面积分别为S1,S2,…,这样就有 , ,…；记W=S1+S2+…+Sn-1,当n越来越大时,W最接近的常数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共4小题,每小题10分,共40分）
6．等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角的度数等于_____________.
7．将水平相当的A、B、C、D四人随机平均分成甲、乙两组进行乒乓球单打比赛,每组的胜者进入下一轮决赛.则A、B在下一轮决赛中相遇的概率是________.
8．如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则AM的最小值为_________.
9．已知点A、B的坐标分别为（1,0）,（2,0）.若二次函数 的图象与线段AB只有一个交点,则 的取值范围是__________________.
三、解答题（本大题共3小题,共70分）
10．（20分）已知,甲、乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时相向而行,其中甲到达N地后立即返回,图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象.
（1）试求线段AB所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围；
（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了 （h）,求乙车的速度；
（3）在（2）的条件下,它们在行驶的过程中相遇的时间.

11．（20分）提出问题：如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC,且BC≠AC）,在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）.
背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条直线为三角形的“等分积周线”.
尝试解决：
（1）小明很快就想到了一条分割直线,请你帮小明在图1中用尺规作图作出这条“等分积周线”,从而平分蛋糕.

（2）小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB于点D.你觉得小华会成功吗?如能成功,说出确定的方法；如不能成功,请说明理由.
（3）通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题：在△ABC中,若AB=BC=5cm,AC=6cm,请你画出该三角形所有的“等分积周线”.
（要求：1.画出示意图；2.简要说明确定的方法； 3.不需要尺规作图.）
12．（30分）如图：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P以一定的速度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动,设P、Q同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t（s）.
（1）若点P以 cm/s的速度运动,
①当PQ‖AB时,求t的值；
②在①的条件下,试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系,并说明理由.
（2）若点P以1cm/s的速度运动,在整个运动过程中,以PQ为直径的圆能否与直线AB相切?若能,请求出运动时间t；若不能,请说明理由.




利用立方和公式可得
=
于是有

…………

将上面各式左右两边分别相加,就会有

设S= ,则

解得