已知数列{an}的首项a1=4,前n项的和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0.已知数列{an}的首项a1＝4,前n项的和为Sn,且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设函数f(x)＝anx＋an－1x2＋…＋a1xn,f′(x)是函数f(x
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 05:36:59
已知数列{an}的首项a1=4,前n项的和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0.已知数列{an}的首项a1＝4,前n项的和为Sn,且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设函数f(x)＝anx＋an－1x2＋…＋a1xn,f′(x)是函数f(x
已知数列{an}的首项a1=4,前n项的和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0.
已知数列{an}的首项a1＝4,前n项的和为Sn,且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设函数f(x)＝anx＋an－1x2＋…＋a1xn,f′(x)是函数f(x)的导函数,令bn＝f′(1),求数列{bn}的通项公式,并研究其单调性．
已知数列{an}的首项a1=4,前n项的和为Sn,且Sn+1-3Sn-2n-4=0.已知数列{an}的首项a1＝4,前n项的和为Sn,且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设函数f(x)＝anx＋an－1x2＋…＋a1xn,f′(x)是函数f(x
1.
S(n+1)-3Sn-2n-4=0
S(n+1)=3Sn +2n+4
S(n+1)+(n+1)+ 5/2=3Sn+3n+15/2=3(Sn +n +5/2)
[S(n+1)+(n+1)+ 5/2]/(Sn +n +5/2)=3,为定值.
S1+1 +5/2=4+1 +5/2=15/2,数列{Sn +n +5/2}是以15/2为首项,3为公比的等比数列.
Sn +n +5/2=(15/2)3^(n-1)= (5/2)×3ⁿ
Sn=(5/2)(3ⁿ -1) -n
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=(5/2)(3ⁿ -1) -n -(5/2)[3^(n-1) -1]+(n-1)=5×3^(n-1) -1
n=1时,a1=5×1-1=4,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=5×3^(n-1) -1
2.
f(x)=an x+ a(n-1) x²+...+a1 xn
f'(x)=an +2a(n-1) x+...+na1 x^(n-1)
bn=f'(1)=an+2a(n-1)+3a(n-2)+...+na1
=5×3^(n-1) -1 +2×5×3^(n-2) -2+...+n×5×3^0 -n
=5[3^(n-1)+2×3^(n-2)+...+n×3^0]-(1+2+...+n)
令Cn=3^(n-1)+2×3^(n-2)+...+n×3^0
则3Cn=3ⁿ+2×3^(n-1)+...+n×3
3Cn-Cn=2Cn=3ⁿ+3^(n-1)+...+3 -n=3×(3ⁿ-1)/(3-1) -n=(3/2)(3ⁿ -1) -n
Cn=(3/4)(3ⁿ -1) -n/2
bn=5Cn -(1+2+...+n)
=(3/4)(3ⁿ-1) -n/2 -n(n+1)/2
=(1/4)3^(n+1) -n(n+2)/2 -3/4
数列{bn}的通项公式为bn=(1/4)3^(n+1) -n(n+2)/2 -3/4
b(n+1)-bn
=(1/4)3^(n+2) -(n+1)(n+3)/2 -3/4 -(1/4)3^(n+1) +n(n+2)/2 +3/4
=[3^(n+1) -2n-3]/2
[3^(n+2)-2(n+1)-3]-[3^(n+1)-2n-3]=2×[3^(n+1)-1]
3^(n+1)≥3 3^(n+1)-1≥2>0 2×[3^(n+1)-1]≥4>0,即随n增大,3^(n+1)-2n-3单调递增.
n=1时,3²-2×1-3=4>0,即b(n+1)-bn恒>0
b(n+1)>bn,数列{bn}是单调递增数列.