高一数学；在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为___
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 04:07:00
高一数学；在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为___
高一数学；在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为
在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为____________.
高一数学；在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为___
a=2rsinA sinA=a/2r 1/sinA=2r/a
b=2rsinB sinB=b/2r 1/sinB=2r/b
(a+b)(1/sinA+1/sinB）
=(a+b)(2r/a+2r/b)
=2(a+b)(a+b)/ab
=2(a+b)²/ab
∵a、b、c是△ABC中的边,
∴a、b、c都大于0
∴a+b≥2√ab
∴2(a+b)²/ab ≥2(2√ab)²/ab=8
∴ (a+b)(1/sinA+1/sinB）的最小值为8
由正弦定理可得a/sinA=b/sinB=2R=2
所以sinA=a/2, sinB=b/2,
所以(a+b)(1/sinA+1/sinB)=a/sinA+b/sinA+a/sinB+b/sinB
=4+b/sinA+a/sinB
...
全部展开
由正弦定理可得a/sinA=b/sinB=2R=2
所以sinA=a/2, sinB=b/2,
所以(a+b)(1/sinA+1/sinB)=a/sinA+b/sinA+a/sinB+b/sinB
=4+b/sinA+a/sinB
=4+2(b/a+a/b)
≥4+2*2sqrt(b/a*(a/b))=8
当且仅当b/a=a/b时，即a=b时，等号成立。
所以(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值是8.
收起
本题主要考查正弦定理和基本不等式的应用。原式展开=(a/sinA+b/sinB)+(a/sinB+b/sinA),由正弦定理得a/sinA，b/sinB均等于2R=2，而a/sinB+b/sinA>=2（a/sinB*b/sinA)^1/2=4（定值）所以原式的最小值为8.