已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1 【注:n+1为a的下标】)(n属于正整数)在直线X-Y+1=0上.函数f(n)=1\(n+a1)+1\(n+a2)+…………1\(n+an),(n属于整数,n大于或等于2).证f(n)大于或等于7\12
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 16:27:43
已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1 【注:n+1为a的下标】)(n属于正整数)在直线X-Y+1=0上.函数f(n)=1\(n+a1)+1\(n+a2)+…………1\(n+an),(n属于整数,n大于或等于2).证f(n)大于或等于7\12
已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1 【注:n+1为a的下标】)(n属于正整数)在直线X-Y+1=0上.
函数f(n)=1\(n+a1)+1\(n+a2)+…………1\(n+an),(n属于整数,n大于或等于2).证f(n)大于或等于7\12
已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1 【注:n+1为a的下标】)(n属于正整数)在直线X-Y+1=0上.函数f(n)=1\(n+a1)+1\(n+a2)+…………1\(n+an),(n属于整数,n大于或等于2).证f(n)大于或等于7\12
由已知可得:
a[n]-a[n+1]+1=0,所以a[n+1]-a[n]=1
所以a[n]是等差数列,且a[n]=n
f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(n+n)
用数学归纳法:
当n=2时,有f(n)=f(2)=1/3+1/4=7/12>=7/12,成立
设n=k时,成立,即f(k)=1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(k+k)>=7/12
则n=k+1时,f(k+1)=1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k+2)
=1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(2k+2)-1/(k+1)
=f(k)+1/(2k+1)+1/(2k+2)-1/(k+1)
=f(k)+1/(2k+1)-1/(2k+2)
>=f(k)>=7/12
所以对于n=k+1,也成立
综上所述,对于任意n>=2,n∈Z,有f(n)>=7/12