高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 21:54:49
高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
高中数学竞赛题,已知向量AB=(1+tanx,1-tanx)向量AC=[sin(x-45°),sin(x+45°)],求证BAC是直角.
向量AB*向量AC=(1+tanx)sin(x-45°)+(1-tanx)sin(x+45°)
=sin(x-45°)+tanxsin(x-45°)+sin(x+45°)-tanxsin(x+45°)
=sin(x-45°)+sin(x+45°)+tanx(sin(x-45°)-sin(x+45°))
=2sinxsin45°+tanx（-2cosxsin45°)
=根号2*sinx-根号2*tanx*cosx
=根号2*sinx-根号2*sinx
=0
所以向量AB和AC垂直,所以∠BAC=90°
向量AB与向量AC的点积=(1+tanx)sin(x-45°)+(1-tanx)sin(x+45°)
=[sin(x-45°)+sin(x+45°)]+tanx·[sin(x-45°)-sin(x+45°)]（对其使用和差化积公式）
=2sinx·cos(-45°)+tanx·2cosx·sin(-45°)
=(√2)sinx-(√2)sinx
=0
所以向量AB⊥向量AC，所以BAC是直角。
只要证明向量AB*向量AC=0，即可
向量AB*向量AC=(1+tanx)sin(x-45°)+(1-tanx)sin(x+45°)
=(1+sinx/cosx)(√2/2)(sinx-cosx)+(1-sinx/cosx)(√2/2)(sinx+cosx)
=(√2/2)(1/cosx)[(sinx+cosx)(sinx-cosx)+(cosx-sinx)(sinx+cosx)]
=(√2/2)(1/cosx)[(sinx+cosx)*0]
=0
∴AB⊥AC
∴∠BAC是直角