过抛物线y^2=4x上一点P(4,4),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA与PB的斜率存在且互为相反数1)求y1+y2的值2)证明直线AB的斜率是非零常数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 21:03:50
过抛物线y^2=4x上一点P(4,4),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA与PB的斜率存在且互为相反数1)求y1+y2的值2)证明直线AB的斜率是非零常数
过抛物线y^2=4x上一点P(4,4),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),
直线PA与PB的斜率存在且互为相反数
1)求y1+y2的值
2)证明直线AB的斜率是非零常数
过抛物线y^2=4x上一点P(4,4),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA与PB的斜率存在且互为相反数1)求y1+y2的值2)证明直线AB的斜率是非零常数
设PA的斜率为k,PB的斜率为 -k（k>0）
直线PA的方程为：y = kx-4k+4
直线PB的方程为：y= -kx+4k+4
PA、PB分别联立抛物线方程
解得y1 = 4（1 - k）/ k
y2 = -4（1 + k）/ k
所以,y1 + y2 = -8
同理,当k≤0是.结果仍为8
楼上说的好着呢.......
抛物线方程化为x=y²/4，
1)、PA的斜率ka=(y1-4)/(x1-4)=(y1-4)/[(y1²/4)-4]
=4(y1-4)/[y1²-16]=4/(y1+4)；
同样，PB的斜率kb=4/(y2+4).，
由题设得4/(y1+4)+4/(y2+4)=0，∴(y2+4)+(y1+4)/(y1+4)(y2+4)=0，
由...
全部展开
抛物线方程化为x=y²/4，
1)、PA的斜率ka=(y1-4)/(x1-4)=(y1-4)/[(y1²/4)-4]
=4(y1-4)/[y1²-16]=4/(y1+4)；
同样，PB的斜率kb=4/(y2+4).，
由题设得4/(y1+4)+4/(y2+4)=0，∴(y2+4)+(y1+4)/(y1+4)(y2+4)=0，
由(y2+4)+(y1+4)=0得y1+y2=-8，这里y1≠y2；
2)、直线AB的斜率为(y2-y1)/(x2-x1)=(y2-y1)/(y2²/4-y1²/4)
=4/(y2+y1)=4/(-8)=-1/2，是为非零常数。
收起
y-4=k(x-4)
y^2=4x
y=4 y1=4(1-k)/k
y-4=-k(x-4)
y^2=4x
y=4 y2=-4(1+k)/k
y1+y2=-8
y1^2=4x1
Y2^2=4x2
(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)
k=-1/2