矩阵A=3 2 -2 -k -1 k 4 2 -3,若A相似于对角阵,求K的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:17:50
矩阵A=3 2 -2 -k -1 k 4 2 -3,若A相似于对角阵,求K的值.
矩阵A=3 2 -2 -k -1 k 4 2 -3,若A相似于对角阵,求K的值.
矩阵A=3 2 -2 -k -1 k 4 2 -3,若A相似于对角阵,求K的值.
|A-λE| =
3-λ 2 -2
-k -1-λ k
4 2 -3-λ
c1+c3
1-λ 2 -2
0 -1-λ k
1-λ 2 -3-λ
r3-r1
1-λ 2 -2
0 -1-λ k
0 0 -1-λ
= (1-λ)(1+λ)^2
A的特征值为 -1,-1,1.
对特征值-1,必有2个线性无关的特征向量才能使A相似于对角矩阵
即 r(A+E)=1.而
A+E =
4 2 -2
-k 0 k
4 2 -2
所以 k = 0.
A相似于对角阵说明A可逆，等价于|A|≠0，算下行列式就行了，三阶行列式还是挺好算的，可以直接套公式，用伴随矩阵的方法，我就不给你手算了。
用matlab算了一下，发现无论k取何值，|A|都是1，也就是说k取任意值。
matlab代码如下：
A=[3 2 -2; -k -1 k ;4 2 -3];
a=det(A)
结果如下：
a =
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A相似于对角阵说明A可逆，等价于|A|≠0，算下行列式就行了，三阶行列式还是挺好算的，可以直接套公式，用伴随矩阵的方法，我就不给你手算了。
用matlab算了一下，发现无论k取何值，|A|都是1，也就是说k取任意值。
matlab代码如下：
A=[3 2 -2; -k -1 k ;4 2 -3];
a=det(A)
结果如下：
a =
1
看完我的回答后楼主可以看看我跟楼上那位仁兄的讨论。
楼主你还是采纳楼上那位老兄的吧（其实是位可敬的老教师），我学的线性代数有点深了，扯到了广义特征向量，你们现在还没学到。对角化和化成约旦标准型不一样，比如[1,0;0,1]是对角矩阵，而[1,1; 0,1]是约旦标准型，严格来讲，所有可逆矩阵都可变换成约旦标准型（就是引进我所说的广义特征向量），但只有部分可逆矩阵可以进行相似拟对角化，也就是满足“m重特征根有m个线性无关向量”的那部分矩阵。所以楼上给出的相似拟对角化的条件是对的，我这个应该是变换成约旦标准型的条件，而所有可逆矩阵都是能变换成约旦标准型的，所以我最后求出的是k可取任意值。
或者说在控制理论里面对角型就是指约旦标准型，而非通常意义上的对角型。
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