向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a,b夹角60度,如果向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 04:04:12
向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a,b夹角60度,如果向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围
向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a,b夹角60度,如果向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围
向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a,b夹角60度,如果向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围
由于两个向量相乘等于模长乘以cosθ,而θ为钝角时为负值,所以只需要两个向量相乘为负值,就可以说明这2个向量成钝角
由题意得：(2ta+7b)(a+tb)
t∈（-7，-1/2)
因为向量a,b,满足|a|=2,|b|=1，设向量A=2ta+7b,向量B=a+tb
则A=4t单位向量a+7单位向量b，B=2单位向量a+t单位向量b
又设向量C=A+B=4t单位向量a+7单位向量b+2单位向量a+t单位向量b=（4t+2）单位向量a+（7+t）单位向量b
求出向量A,B,C的摸：|A|=根号（16t^2+49),|B|=根号（4+t^2),|C|=根号...
全部展开
因为向量a,b,满足|a|=2,|b|=1，设向量A=2ta+7b,向量B=a+tb
则A=4t单位向量a+7单位向量b，B=2单位向量a+t单位向量b
又设向量C=A+B=4t单位向量a+7单位向量b+2单位向量a+t单位向量b=（4t+2）单位向量a+（7+t）单位向量b
求出向量A,B,C的摸：|A|=根号（16t^2+49),|B|=根号（4+t^2),|C|=根号（17t^2+30t+53）
三向量A,B,C构成一个矢量三角形，要使向量A和B的夹角为钝角，则向量C对应角是锐角，其余弦值大于0
所以cosC=[|C|^2-|A|^2-|C|^2]/2*|A|*|B|=30t/[根号（16t^2+49)*根号（4+t^2）]
cosC要求大于0小于1
30t/[根号（16t^2+49)*根号（4+t^2）]大于0得出t大于0
30t/[根号（16t^2+49)*根号（4+t^2）]小于1解得t解得t^2大于12.84或t^2小于0.26也就是要满足t大于3.58或小于-3.58，同时满足t小于0.51大于-0.51.由于上面确定了t大于0
综合上面解得结果，t大于0小于0.51，向量A和B的夹角才是钝角
收起