设两个复数α和β,满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2,它们在复平面上对应的点分别是A,B,坐标原点为O设两个复数α和β，满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2，它们在复平面上对应的点分别是A,B,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 09:57:29
设两个复数α和β,满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2,它们在复平面上对应的点分别是A,B,坐标原点为O设两个复数α和β，满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2，它们在复平面上对应的点分别是A,B,
设两个复数α和β,满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2,它们在复平面上对应的点分别是A,B,坐标原点为O
设两个复数α和β，满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2，它们在复平面上对应的点分别是A,B,坐标原点为O,求三角形OAB的面积
设两个复数α和β,满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2,它们在复平面上对应的点分别是A,B,坐标原点为O设两个复数α和β，满足不等式α^2+β^2=2β和│α-β│=2，它们在复平面上对应的点分别是A,B,
设α=r(cosa+isina),β=s(cosb+isinb),r,s>0.依题意
r^2*(cos2a+isin2a)+s^2*(cos2b+isin2b)
=2s(cosb+isinb),
由复数相等条件得
r^2*cos2a+s^2*cos2b=2scosb,
r^2*sin2a+s^2*sin2b=2ssinb.
∴r^2=2ssinb/sin(2b-2a),①
s^2=2ssin(b-2a)/sin(2b-2a).②
由│α-β│=2得
r^2+s^2-2rscos(a-b)=4.③
把①、②代入③,
2ssinb/sin(2b-2a)+2ssin(b-2a)/sin(2b-2a)
-2rscos(a-b)=4,
∴s[sinb+sin(b-2a)]-rscos(a-b)sin(2b-2a)
=2sin(2b-2a),
上式和差化积,约去2sin(b-a),得
scosa-rs[cos(a-b)]^2=2cos(a-b),
rs[cos(a-b)]^2+2cos(a-b)-scosa=0,
cos(a-b)=[-1+√（1+rs^2*cosa)]/(rs),
或[-1-√（1+rs^2*cosa)]/(rs),
①-②,化简得
r^2-s^2=2ssina/[sin(b-a)],
三个方程有4个未知数,无法求通解.
令a=0,则r=s,cosb=[-1+√（1+r^3)]/r^2,
或[-1-√（1+r^3)]/r^2,
都代入③/2,r^2-[-1土√（1+r^3)]=2,
r^2-1=土√（1+r^3),
平方,化简得r^2-r-2=0,r=2,
∴cosb=1/2或-1,
∴|sinb|=(√3）/2或0（舍）,
S△OAB=rs|sin(a-b)|/2=√3.
仅供参考.