各项式为正数的数列｛an｝满足a1=1.an+1的平方–an的平方=21.求数列｛an｝的通项公式2.求数列｛an+an+1分之一｝的前n项和

各项式为正数的数列｛an｝满足a1=1.an+1的平方–an的平方=21.求数列｛an｝的通项公式2.求数列｛an+an+1分之一｝的前n项和
各项式为正数的数列｛an｝满足a1=1.an+1的平方–an的平方=2
1.求数列｛an｝的通项公式
2.求数列｛an+an+1分之一｝的前n项和

各项式为正数的数列｛an｝满足a1=1.an+1的平方–an的平方=21.求数列｛an｝的通项公式2.求数列｛an+an+1分之一｝的前n项和
(1)
An+1的平方减An的平方=2 {an平方}为公差为2的等差数列
a1平方为1 an平方=2n-1 an=根号（2n-1)
(2)
由前面知道an=√(2n-1)
所以1/[an+a(n+1)]
=1/[√(2n-1)+√(2n+1)]
=[√(2n+1)-√(2n-1)]/2
所以{1/[an+a(n+1)]}的前n项和是
[(√3-√1)+(√5-√3)+...+√(2n+1)-√(2n-1)]/2
=[√(2n+1)-1]/2

不用挣扎了，哥是过来人了，太难了，耗时耗神，直接睡觉踏实点。交卷的时候写上：不会，宁愿不做也不抄，老师会给你点分的。

由题知数列{an²}为等差数列
首项＝a1²＝1
公差＝2
an²＝1＋2(n-1)＝2n－1
又，an>0
所以，an＝√(2n-1)

(1){an}的通项公式为
an＝√(2n-1)

(2)
1/[(an+a(n+1)]
=1/(√(2n-1)+√(2n+1))...

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由题知数列{an²}为等差数列
首项＝a1²＝1
公差＝2
an²＝1＋2(n-1)＝2n－1
又，an>0
所以，an＝√(2n-1)

(1){an}的通项公式为
an＝√(2n-1)

(2)
1/[(an+a(n+1)]
=1/(√(2n-1)+√(2n+1))
=[√(2n+1)-√(2n-1)]/2

｛an+an+1分之一｝的前n项和
=(1/2)×(√3-1+√5-√3+……+√(2n+1)-√(2n-1))
=(1/2)×(√(2n+1)－1)
=(√(2n+1)－1)/2

收起

1.an²=an²-a²n-1+a²n-1-a²n-2+。。。。。。+a²2-a²1+a²1=2*（n-1）+1=2n-1
an=√（2n-1）
2.1/(an+an+1)=1/[√（2n+1）+√（2n-1）]
=[√（2n+1）-√（2n-1）]/[√（2n+1）+√（2n-1）][√（2n...

全部展开

1.an²=an²-a²n-1+a²n-1-a²n-2+。。。。。。+a²2-a²1+a²1=2*（n-1）+1=2n-1
an=√（2n-1）
2.1/(an+an+1)=1/[√（2n+1）+√（2n-1）]
=[√（2n+1）-√（2n-1）]/[√（2n+1）+√（2n-1）][√（2n+1）-√（2n-1）]
=[√（2n+1）-√（2n-1）]/2
然后相加，可以消掉中间项，最后结果为1/2*[√（2n+1）-1]

收起

第一问：可以累加 得an=根号(2n-1)
第二问：方法相同。 没计算

因为[a(n+1)]^2-(an)^2=2所以数列{(an)^2}是等差数列故(an)^2=(a1)^2+(n-1)d=1^2+2(n-1)=2n-1又an＞0所以an=√(2n-1)
由前面知道an=√(2n-1)所以1/[an+a(n+1)]=1/[√(2n-1)+√(2n+1)]=[√(2n+1)-√(2n-1)]/2所以{1/[an+a(n+1)]}的前n项和是[(√3-√1)+(√5-√3)+...+√(2n+1)-√(2n-1)]/2=[√(2n+1)-1]/2

an+1的平方-an的平方=2
an的平方-an-1的平方=2
……
a2的平方-a1的平方=2
等式两边相加
an+1的平方-a1的平方=2n
an+1的平方=2n+1
an的平方=2n-1

1，令an+1的平方为一个新的数列
an+1的平方=bn+1，则b1=1
bn+1-bn=2
bn=2n-1
则an=√bn=√2n-1（n≥1）
2、
｛an+an+1分之一｝=√2n-1+1/√2n-1=2n/√2n-1

a1=1 a2=根号3 因为是正数数列 a3=2根号3 a4= 算了，没草稿做不出来
第二问用裂项法 就能消去。