已知各项均为正数的数列{an},满足a1=3,且(2an+1-an)/(2an-an+1)=anan+1,求an的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/06 03:25:06
已知各项均为正数的数列{an},满足a1=3,且(2an+1-an)/(2an-an+1)=anan+1,求an的通项公式
已知各项均为正数的数列{an},满足a1=3,且(2an+1-an)/(2an-an+1)=anan+1,求an的通项公式
已知各项均为正数的数列{an},满足a1=3,且(2an+1-an)/(2an-an+1)=anan+1,求an的通项公式
有点多.
∵(2a[n+1]-a[n])/(2a[n]-a[n+1])=a[n]a[n+1],n∈N
∴2a[n+1]-a[n]=a[n]a[n+1](2a[n]-a[n+1])
∵{a[n]}是各项均为正数的数列
∴两边同除以a[n]a[n+1],得:2/a[n]-1/a[n+1]=2a[n]-a[n+1]
即:a[n+1]-1/a[n+1]=2(a[n]-1/a[n])<...
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∵(2a[n+1]-a[n])/(2a[n]-a[n+1])=a[n]a[n+1],n∈N
∴2a[n+1]-a[n]=a[n]a[n+1](2a[n]-a[n+1])
∵{a[n]}是各项均为正数的数列
∴两边同除以a[n]a[n+1],得:2/a[n]-1/a[n+1]=2a[n]-a[n+1]
即:a[n+1]-1/a[n+1]=2(a[n]-1/a[n])
∵a1=3
∴{a[n]-1/a[n]}是首项为a[1]-1/a[1]=8/3,公比为2的等比数列
即:a[n]-1/a[n]=8*2^(n-1)/3=2^(n+2)/3
∴a[n]^2-a[n]2^(n+2)/3-1=0
a[n]=2^(n+1)/3±√[2^(2n+2)/9+1]
∵[2^(n+1)/3]^2<[2^(n+1)/3]^2+1=[2^(2n+2)/9+1]
又∵{a[n]}是各项均为正数的数列
∴a[n]=√[2^(2n+2)/9+1]+2^(n+1)/3
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