在△ABC中,AD是BC的中线,AD=AC,AE⊥BC于E.求证AB·AB-AC·AC=2BC·DE.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 17:54:05
在△ABC中,AD是BC的中线,AD=AC,AE⊥BC于E.求证AB·AB-AC·AC=2BC·DE.
在△ABC中,AD是BC的中线,AD=AC,AE⊥BC于E.求证AB·AB-AC·AC=2BC·DE.
在△ABC中,AD是BC的中线,AD=AC,AE⊥BC于E.求证AB·AB-AC·AC=2BC·DE.
证明：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∵AD=AC,AE⊥DC
∴DE=CE,DC=2DE=2CE.
∴BC=2BD=2CD=4DE=4CE
∵△EAB是直角三角形
∴AB2=EB2+EA2
∵△EAC是直角三角形
∴AC2=EC2+EA2
∴AB2-AC2=EB2+EA2-(EC2+EA2)
=EB2-EC2
∵EB=ED+DB
∴AB2-AC2=EB2-EC2
=(ED+DB)2-EC2
=ED2+2ED*DB+DB2-EC2
∵ED=EC
∴AB2-AC2=2ED*DB+DB2
=(2ED+DB)DB
∵DC=2ED
∴AB2-AC2=(2ED+DB)DB
=(DC+DB)DB
=BC*DB
∵DB=2DE
∴AB2-AC2=BC*DB
=2BC*DE
本题的关键是要找出BC,BD,DE之间的倍数关系及合理运用勾股定理.
找出倍数关系后也可有如下简化方法.
AB2-AC2=EB2-EC2
=9DE2-DE2
=8DE2
=2DE*4DE
=2DE*BC
由题可知AE为△ADE的中垂线，又AD是△ABC的中线，有BC＝4EC，BE＝3EC
AB^2-QC^2=BE^2+AE^2-(AE^2+EC^2)
=BE^2-EC^2
＝9EC^2－EC^2＝8EC^2=2BC*EC
证明：
因为是AD中线，AE是高线，
所以BD=DC,AE⊥BC.
所以在直角三角形ABE中，AB的平方=BE的平方+AE的平方，
在直角三角形ACE中，AC的平方=AE的平方+EC的平方.
又因为BE=BD+DE，EC=DC-EC=BD-EC,
所以AB*AB-AC*AC=(BD+DE)的平方-(BD-EC)的平方=4BD×DE。
又因...
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证明：
因为是AD中线，AE是高线，
所以BD=DC,AE⊥BC.
所以在直角三角形ABE中，AB的平方=BE的平方+AE的平方，
在直角三角形ACE中，AC的平方=AE的平方+EC的平方.
又因为BE=BD+DE，EC=DC-EC=BD-EC,
所以AB*AB-AC*AC=(BD+DE)的平方-(BD-EC)的平方=4BD×DE。
又因为BC=2BD.
所以AB*AB-AC*AC=2BC×DE.
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