过m（-2,0）作直线l交椭圆x^2/2+y^2=1于A,B两点,以OA,OB为一组邻边作平行四边形OAPB,（1）求P点轨迹方程（2）是否存在这样的直线L,使OAPB为矩形,若存在,求出L方程,若不存在,说理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:50:32
过m（-2,0）作直线l交椭圆x^2/2+y^2=1于A,B两点,以OA,OB为一组邻边作平行四边形OAPB,（1）求P点轨迹方程（2）是否存在这样的直线L,使OAPB为矩形,若存在,求出L方程,若不存在,说理由
过m（-2,0）作直线l交椭圆x^2/2+y^2=1于A,B两点,以OA,OB为一组邻边作平行四边形OAPB,
（1）求P点轨迹方程
（2）是否存在这样的直线L,使OAPB为矩形,若存在,求出L方程,若不存在,说理由
过m（-2,0）作直线l交椭圆x^2/2+y^2=1于A,B两点,以OA,OB为一组邻边作平行四边形OAPB,（1）求P点轨迹方程（2）是否存在这样的直线L,使OAPB为矩形,若存在,求出L方程,若不存在,说理由
(1) 设直线l为y=k(x+2),代入椭圆,得 x²/2+k²(x+2)²=1,即(2k²+1)x+8k²x+2(4k²-1)=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则有 x1+x2=-8k²/(2k²+1),x1x2=2(4k²-1)/(2k²+1)
由平行四边形几何关系知,∴有 (x1+x2)/2=(x+0)/2
∴x=x1+x2=-8k²/(2k²+1),同理有 y=y1+y2=k(x1+x2+4)=4k/(2k²+1)
上两式消去k,化简得 x²+4x+2y²=0,即为P点轨迹方程
(2) OAPB为矩形,则OA⊥OB,k(OA)*k(OB)=-1
k(OA)=y1/x1,k(OB)=y2/x2
k(OA)*k(OB)=(y1y2)/(x1x2)=[k(x1+2)*k(x2+2)]/(x1x2)
=k²[(x1x2)+(x1+x2)+4]/(x1x2)
=k²[2(4k²-1)/(2k²+1)-8k²/(2k²+1)+4]/[2(4k²-1)/(2k²+1)]
=k²[2(4k²+1)/(2k²+1)]/[2(4k²-1)/(2k²+1)]
=k²(4k²+1)/(4k²-1)
=-1
即 k²(4k²+1)=-(4k²-1) 解得k²=(-5+√41)/8,∴k=±√[(-5+√41)/8]
∴存在2条使OAPB为矩形的直线L,方程为y=k(x+2)=±√[(-5+√41)/8]*(x+2)