四面体A--BCS中,SB,SA,SC两两垂直,∠SBA=4与平面SAB所成的角5度,∠SBC=60度,M为AB中点求BC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 08:05:49
四面体A--BCS中,SB,SA,SC两两垂直,∠SBA=4与平面SAB所成的角5度,∠SBC=60度,M为AB中点求BC
四面体A--BCS中,SB,SA,SC两两垂直,∠SBA=4与平面SAB所成的角5度,∠SBC=60度,M为AB中点求BC
四面体A--BCS中,SB,SA,SC两两垂直,∠SBA=4与平面SAB所成的角5度,∠SBC=60度,M为AB中点求BC
题目是 ：求：1）BC与平面SAB所成的角；2）SC与平面ABC所成角的正炫值
（1）
因为SA、SB 、SC两两垂直,即：SC⊥SB,SC⊥SA
所以,SC⊥面SAB
即,BC在面SAB内的射影为SB
所以,∠SBC即为BC与面SAB所成的角=60°
（2）
因为SA、SB 、SC两两垂直
所以,△ASB、△ASC、△BSC均为直角三角形
设SA=a
则在Rt△ASB中,已知∠SBA=45°,即Rt△SAB为等腰直角三角形
所以,SB=SA=a
且,由勾股定理得到：AB=√2a
因为M为AB中点
所以,SM⊥AB……………………………………………………（1）
且,AM=BM=(√2a)/2
又,在Rt△BSC中,∠SBC=60°
所以,BC=2a,SC=√3a
所以,在Rt△ASC中由勾股定理有：AC^2=SA^2+SC^2=a^2+(√3a)^2=4a^2
所以,AC=2a=BC
所以,△CAB也是等三角形
而,M为底边AB中点
所以,CM⊥AB……………………………………………………（2）
由(1)(2)得到：∠SMC为二面角S-AB-C的平面角
那么,SC在面ABC内的射影就是MC
所以,∠SCM即为SC与面ABC所成的角
在等腰Rt△ASB中,M为斜边AB中点
所以,SM=AB/2=(√2a)/2
在Rt△AMC中,由勾股定理得到：MC^2=AC^2-AM^2=(2a)^2-(√2a/2)^2=7a^2/2
所以,MC=(√14a)/2
所以,在△SCM中,由余弦定理得到：
cos∠SCM=(SC^2+MC^2-SM^2)/(2*SC*MC)
=[(√3a)^2+(7a^2/2)-(√2a/2)^2]/[2*(√3a)*(√14a/2)]
=6/√42
所以,sin∠SCM=√7/7