已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示E是侧棱PC上动点1,求四棱锥体积2,是否不论点E在何处,都有BD⊥AE?证明结论3,若点E为PC中点,求二面角D-AE-B大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 07:02:10
已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示E是侧棱PC上动点1,求四棱锥体积2,是否不论点E在何处,都有BD⊥AE?证明结论3,若点E为PC中点,求二面角D-AE-B大小
已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示E是侧棱PC上动点
1,求四棱锥体积
2,是否不论点E在何处,都有BD⊥AE?证明结论
3,若点E为PC中点,求二面角D-AE-B大小
已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示E是侧棱PC上动点1,求四棱锥体积2,是否不论点E在何处,都有BD⊥AE?证明结论3,若点E为PC中点,求二面角D-AE-B大小
1 由正视图和侧视图易知,PC⊥DC,PC⊥BC,
∴PC⊥面ABCD
V=1/3 SABCD*PC=1/3*1*2=2/3
2连接AC
∵PC⊥面ABCD
∴PC⊥BD
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∴BD⊥面ACE
∴BD⊥AE
3过D做DF⊥AE,垂足为F,连接BF
先证明∠DFB就是所要求的二面角
即只要证明BF⊥AE
∵DF⊥AE,BF⊥AE
AE⊥面DFB
∴AE⊥BF
即∠DFB为所要求的二面角
下面求DF,BF
∵AD⊥PC,AD⊥DC
∴AD⊥面DCP
∴AD⊥DE
∵DE=√（DC^2+CE^2)=√2
AE=√（AD^2+DE^2)=√3
S△ADE=1/2AD*DE=1/2AE*DF
DF=√6/3
同理可证BF=√6/3
又∵BD=√2
根据余弦定理 cos∠DFB=（DF^2+BF^2-DB^2)/(2DFBF)=-(2/3)/(4/3)=-1/2
∴∠DFB=120°
过程：
1:有图可知 此四棱锥底边长为1，高为2
所以体积 为1*1*2/3=2/3
2：不论点E在何处,都有BD⊥AE
因为BD⊥AC, 又PC⊥CD,PC⊥CB
所以PC⊥面ABCD
所以 BD⊥PC
所以 BD⊥面PAC
所以不论点E在何处,都有BD⊥AE。
3：由D,B分别作AE的垂线，...
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过程：
1:有图可知 此四棱锥底边长为1，高为2
所以体积 为1*1*2/3=2/3
2：不论点E在何处,都有BD⊥AE
因为BD⊥AC, 又PC⊥CD,PC⊥CB
所以PC⊥面ABCD
所以 BD⊥PC
所以 BD⊥面PAC
所以不论点E在何处,都有BD⊥AE。
3：由D,B分别作AE的垂线，因为对称性知道是共同垂足，设为M；
可以求出BD=根号2；
在△ADE和△ABE中分别求出DM=BM=根号6/3
然后由余弦定理 在△BDM中就可以求出角BMD的大小=120°。也即
二面角D-AE-B的大小为120°。
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