基本不等式 (3 13:33:47)求函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0＜a＜2)的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 05:42:52
基本不等式 (3 13:33:47)求函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0＜a＜2)的最小值
基本不等式 (3 13:33:47)
求函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0＜a＜2)的最小值
基本不等式 (3 13:33:47)求函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0＜a＜2)的最小值
f(x)=e²x²-2aex+a²+x²+2(a-e)x+(a-e)²
=(e²+1)x²+(2a-2e-2ae)x+(2a²-2ae+e²)
=(e²+1){x²+(2a-2e-2ae)x/(e²+1)+[(2a-2e-2ae)/2(e²+1)]²}-(e²+1)[(2a-2e-2ae)/2(e²+1)]²+(2a²-2ae+e²)
=(e²+1)[x²+(a-e-ae)/(e²+1)]²-(a-e-ae)²/(e²+1)+(2a²-2ae+e²)
所以最小值=-(a-e-ae)²/(e²+1)+(2a²-2ae+e²)
=(a²e²+a²-2ae³+e^4+2a²e-2ae²)/(e²+1)
∵ f(x)＝(ex－a)2＋(e-x－a)2
＝(ex)2＋a2－2aex＋(e-x)2－2ae-x＋a2
＝(ex＋e-x－a)2＋a2－2(x∈R)
由 ex＋e-x≥2，（等号在ex＝e-x即x＝0时成立）
知 f(x)min＝(2－a)2＋a2－2＝2(a－1)2
给我最佳啦
f(x)=(e^x-a)^2+(e^-x-a)^2(0＜a＜2)
=e^2x-2ae^x+a^2+e^(-2x)+a^2-2ae^(-x)
=(e^2x+e^(-2x))-2a(e^x+e^(-x))+2a^2
=[(e^x+e^(-x))^2-2]-2a(e^x+e^(-x))+a^2+a^2
=[e^x+e^(-x)-a]^2+a...
全部展开
f(x)=(e^x-a)^2+(e^-x-a)^2(0＜a＜2)
=e^2x-2ae^x+a^2+e^(-2x)+a^2-2ae^(-x)
=(e^2x+e^(-2x))-2a(e^x+e^(-x))+2a^2
=[(e^x+e^(-x))^2-2]-2a(e^x+e^(-x))+a^2+a^2
=[e^x+e^(-x)-a]^2+a^2-2.
借助基本不等式：a+b≥2√ab，
e^x+e^(-x)
=e^x+1/e^x
=(√e^x)^2+(1/√e^x)^2≥2*(√e^x)*(1/√e^x)=2
其中等号当且仅当√e^x=1/√e^x即e^x=1时成立，此时解得x=0。
所以,f(x)最小值=(2-a)^2+a^2-2=4-4a+a^2+a^2-2=2a^2-4a+2=2(a-1)^2
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