在四边形ABCD中,AB=am,BC=bm,CD=cm,对角线AC与BD恰好垂直.你能用abc表示出第四边AD的长吗
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:19:29
在四边形ABCD中,AB=am,BC=bm,CD=cm,对角线AC与BD恰好垂直.你能用abc表示出第四边AD的长吗
在四边形ABCD中,AB=am,BC=bm,CD=cm,对角线AC与BD恰好垂直.你能用abc表示出第四边AD的长吗
在四边形ABCD中,AB=am,BC=bm,CD=cm,对角线AC与BD恰好垂直.你能用abc表示出第四边AD的长吗
证明和图:
设AC与BD的交点为E
则 1、 AE^2+BE^2=AB^2=a^2
2、 DE^2+CE^2=CD^2=c^2
3、 BE^2+CE^2=BC^2=b^2
关键是求AE^2+DE^2
所以1-3+2得
AE^2+DE^2=a^2-b^2+c^2
因 AE^2+DE^2=AD^2
所以 AD^2=a^2-b^2+c^2
剩下的知道怎么做了？
连接对角线 设AC=p, BD=q,对角线相交与o, ao=x, bo=y
四个直角三角形，四个方程
x2+y2=a2
x2+(q-y)2=AD2
(q-y)2+(p-x)2=c2
y2+(p-x)2=b2
带入有AD的方程
AD2=c2-[b2-y2]+x2=c2-b2+a2
AD=根号（a2-b2+c2)
假设AC BD的交点是O，AO=e OC=f BO=y OD=x ，那么就有
e^2+y^2=a^2 f^2+y^2=b^2 f^2+x^2=c^2 所以有x^2+e^2=DA^2=a^2+c^2-b^2
DA=根号下的（a^2+c^2-b^2）
设BO为x AC BD交于o点 CO=根号下b方—x方 DO=根号下c方—b方+x方 AO=根号下a方—x方 则AD方=a方—x方+c方—b方+x方=a方—b方+c方 即 AD=根号下a方—b方+c方
设AC、BD交于点O，设OA长为xm，根据勾股定理可知：
OB^2＝AB^2－OA^2＝a^2－x^2
OC^2＝BC^2－OB^2＝b^2－a^2＋x^2
OD^2＝CD^2－OC^2＝c^2－b^2＋a^2－x^2
AD^2＝OA^2＋OD^2＝x^2＋c^2－b^2＋a^2－x^2
＝c^2－b^2＋a^2
所以AD＝√(c^2－b^2＋a^2)