高中数学圆锥曲线.此题偏难,高手进.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:41:39
高中数学圆锥曲线.此题偏难,高手进.
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高中数学圆锥曲线.此题偏难,高手进.
已知抛物线C：y^2=2px和圆M：(x-4)^2+y^2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0>=1)作二条直线分别为切圆M于A,B,分别交抛物线于E,F,圆心M到抛物线准线的距离为17/4.
(1)当∠AHB的平分线垂直X轴时,求直线EF的斜率；
(2)若直线AB在Y轴上的截距为r,求r的最小值.
（1）解析：由题意：∵M(4,0)到抛物线y^2=2px的准线的距离为17/4,
∴准线为x=-1/4,p=1/2==>抛物线C的方程为y^2=x
∵∠AHB的平分线HM⊥x轴∴H(4,±2）,
当H(4,2)时,设HA(HB)的方程为y-2=k(x-4)==>kx-y+2-4k=0,
∴M到HA的距离=2/√(k^2+1)=1,
∴k^2=3==>k=±√3,
将HA的方程y=√3x+2-4√3代入抛物线,
得3x^2+(4√3-25)x+52-16√3=0,
xh=4,xe=(13-4√3)/3,
∴E((13-4√3)/3,(√3-6)/3)
同理可得F((13+4√3)/3,(-√3-6)/3),
∴EF的斜率=(2/√3)/(-8/√3)=-1/4,
当H(4,-2)时,应用上述方法求得EF的斜率=1/4.
(2)解析：设A(x1,y1),B(x2,y2)在圆(x-4)^2+y^2=1上,则切线HA,HB为
(x1-4)(x-4)+y1y=1,(x2-4)(x-4)+y2y=1
∵HA,HB交于H(x0,y0),
∴AB方程：(x0-4)(x-4)+y0y=1,
它在y轴上的截距r=[1+4(x0-4)]/y0=[4y0^2-15]/y0=4y0-15/y0
∵y0>=1,
∴r的最小值=-11.