已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…an,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)证明
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/29 00:43:11
已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…an,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)证明
已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…an,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.
(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;
(Ⅱ)证明:a1=1,且;
(Ⅲ)证明:当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.
已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…an,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;(Ⅱ)证明
(Ⅰ)由于3×与均不属于数集{1,3,4,
∴该数集不具有性质P.
由于1×2,1×3,1×6,2×3,都属于数集{1,2,3,6,
∴该数集具有性质P.
(Ⅱ)∵A={a1,a2,…,an}具有性质P,
∴anan与中至少有一个属于A,
由于1≤a1<a2<…<an,∴anan>an
故anan∉A.
从而1=∈A,a1=1.
∵1=a1<a2<…an,n≥2,∴akan>an(k=2,3,4,…,n),
故akan∉A(k=2,3,4,…,n).
由A具有性质P可知∈A(k=2,3,4,…,n).
又∵<<…<<,
∴,…,
从而++…++=a1+a2+…+an,
∴且;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当n=5时,
有,即a5=a2•a4=a32,
∵1=a1<a2<…<a5,∴a3a4>a2a4=a5,∴a3a4∉A,
由A具有性质P可知∈A.
由a2•a4=a32,得∈A,
且1<,∴,
∴,
即a1,a2,a3,a4,a5 是首项为1,公比为a2等比数列.