四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 17:10:06
四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC
四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′
（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=kBD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立?∠AMB与α的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论
四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC
1.∵矩形
∴A0=B0=CO=DO
∵旋转
∴D'O=DO C'O=CO ∠AOB=∠DOC=α
∴D'O=C'O
∵∠BOD'=∠AOC'=α+∠AOD'
∴△BOD'≌△AOC'
∴AC'=BD' ∠C'AO=∠D'BO
∵∠AXM=∠BXO
∴∠AMB=∠AOB=∠DOC=α
jkghjkl
dfgdsfgdsf
（2）AC′=kBD′，∠AMB=α，
证明：在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB：OA=OD′：C′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，<...
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（2）AC′=kBD′，∠AMB=α，
证明：在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB：OA=OD′：C′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，
∵AC=kBD，
∴AC′=kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，
综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α，
（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立．
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