求解答集合题如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F．连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=√2（根号2） ,求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE,求证：FH=H

求解答集合题如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F．连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=√2（根号2） ,求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE,求证：FH=H
求解答集合题

如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F．连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H．
（1）若BF=BD=√2（根号2）   
,求BE的长；
（2）若∠ADE=2∠BFE,求证：FH=HE+HD．

求解答集合题如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F．连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=√2（根号2） ,求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE,求证：FH=H
（1）由四边形ABCD正方形,BF=BD=
2,由勾股定理即可求得BC的长,又由DF⊥DE,易证得△ADE≌△CDF,即可求得BE的长；
（2）首先在FE上截取一段FI,使得FI=EH,由△ADE≌△CDF,易证得△DEH≌△DFI,即可得DH=DI,又由∠ADE=2∠BFE,易证得△DHI为等边三角形,即可得DH=HI,继而可得FH=HE+HD．∵四边形ABCD正方形,
∴∠BCD=90°,
∴Rt△BCD中,BC2+CD2=BD2,
即BC2=（2）2+（2）2,
∴BC=AB=1,
∵DF⊥DE,
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
∵∠ADE=∠CDFAD=DC∠A=∠DCF=90°​,
∴△ADE≌△CDF（ASA）,
∴AE=CF=BF-BC=2-1,
∴BE=AB-AE=1-（2-1）=2-2；
（2）证明：在FE上截取一段FI,使得FI=EH,
∵△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,
∴△DEF为等腰直角三角形,
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC,
∵∠DHE=∠BHF,
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理）,
在△DEH和△DFI中,
∵DE=DF∠DEH=∠DFIEH=FI​,
∴△DEH≌△DFI（SAS）,
∴DH=DI,
又∵∠HDE=∠BFE,∠ADE=2∠BFE,
∴∠HDE=∠BFE=12∠ADE,
∵∠HDE+∠ADE=45°,
∴∠HDE=15°,
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°,
即△DHI为等边三角形,
∴DH=HI,
∴FH=FI+HI=HE+HD．

（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=
2，由勾股定理即可求得BC的长，又由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．（1）∵四边形ABCD正方形，<...

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（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=
2，由勾股定理即可求得BC的长，又由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．（1）∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，
∴Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
即BC2=（2）2+（2）2，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵∠ADE=∠CDFAD=DC∠A=∠DCF=90°​，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=2-1，
∴BE=AB-AE=1-（2-1）=2-2；
（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，
∵DE=DF∠DEH=∠DFIEH=FI​，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=12∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴FH=FI+HI=HE+HD．

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